Question

Точка H — ортоцентр остроугольного треугольника ABC. Известно, что AH⋅BC=9, BH⋅AC=30, а площадь треугольника ABC равна 18. Найдите CH⋅AB. Средняя линия трапеции делит трапецию на две, площадь одной из которых в 2 раза больше площади другой. Найдите отношение большего основания исходной трапеции к меньшему. В трапеции ABCD с основаниями AD и BC выполнено равенство AD=2AB=2BC. Диагональ AC равна 7, а боковая сторона CD равна 5. Найдите площадь трапеции. Решите срочно пжжжпжпжжжпжпж даю 81 балл!!!!

Answer 1

Ответ:

1. CH * AB = 33

2.$\frac{AD}{BC} = \frac{5}{1}$

3. $S_{\bigtriangleup ABCD} = 26,25$ квадратных сантиметров

Объяснение:

1. Дано: H — ортоцентр остроугольного ΔABC, $S_{\bigtriangleup ABC} = 18$,AH⋅BC=9, BH⋅AC=30.

Найти: CH⋅AB - ?

Решение: По определению ортоцентр(точка H по условию) эта точка пересечения высот треугольника, при этом по свойствам ортоцентра в остроугольном треугольнике (по условию ΔABC - остроугольный) ортоцентр лежит внутри треугольника.

Составим системы уравнений по формуле площади треугольника и условию задачи:

1) $\displaystyle \left \{ {{AH * BC = 9} \atop {AH_{1} * BC = 2S_{\bigtriangleup ABC} } \right.$ 2)$\displaystyle \left \{ {{BH * AC = 30} \atop {BH_{2} * AC = 2S_{\bigtriangleup ABC} } \right.$

1) $\displaystyle \left \{ {{AH * BC = 9} \atop {AH_{1} * BC = 36 } \right.$ 2)$\displaystyle \left \{ {{BH * AC = 30} \atop {BH_{2} * AC = 36 } \right.$

Поделим нижнее уравнение системы на верхнее уравнение:

1) $\frac{AH_{1} * BC}{AH * BC} = \frac{36}{9} \Longleftrightarrow \frac{AH_{1}}{AH} = \frac{4}{1} \Longrightarrow AH_{1} = 4AH$

2)$\frac{BH_{2} * AC}{BH * AC} = \frac{36}{30} \Longleftrightarrow \frac{BH_{2}}{BH} = \frac{1,2}{1} \Longrightarrow BH_{2} = 1,2BH$

Составим систему уравнений:

$\left \{\begin{array}{l} BH_{2} = BH + HH_{2} \\ AH_{1} = AH + HH_{1} \\ CH_{3} = CH + HH_{3}\end{array} \right$ $\left \{\begin{array}{l} HH_{2} = BH_{2} - BH = 1,2BH - BH = 0,2BH \\ HH_{1} = AH_{1} - AH = 4AH - AH = 3AH \\ CH = CH_{3} - HH_{3}\end{array} \right$

$S_{\bigtriangleup ABC} = S_{\bigtriangleup AHB} + S_{\bigtriangleup CHB} + S_{\bigtriangleup AHC}|* 2$

$2S_{\bigtriangleup ABC} = 2S_{\bigtriangleup AHB} + 2S_{\bigtriangleup CHB} + 2S_{\bigtriangleup AHC}$

$2 * 18 = 2 * 0,5 * HH_{3} * AB + 2 * 0,5 *HH_{1} * BC + 2 * 0,5 * HH_{2} * AC$

$36 = HH_{3} * AB + HH_{1} * BC + HH_{2} * AC$

$36 = HH_{3} * AB + 3(AH * BC) + 0,2 (BH *AC)$

$36 = HH_{3} * AB + 3 * 9 + 0,2 * 30$

$36 = HH_{3} * AB + 27 + 6$

$HH_{3} * AB = 3$

Составим систему уравнений:

$\displaystyle\left \{ {{CH_{3} * AB = 2S_{\bigtriangleup ABC}|:CH_{3}} \atop {HH_{3} * AB = 3|:HH_{3}}} \right.$$\displaystyle \left \{ {{AB = \frac{2S_{\bigtriangleup ABC}}{CH_{3}} } \atop {AB=\frac{3}{HH_{3}} }} \right.$

$\frac{2S_{\bigtriangleup ABC}}{CH_{3}} = \frac{3}{HH_{3}}$

$\frac{36}{CH_{3}} = \frac{3}{HH_{3}}$

$36HH_{3} = 3CH_{3}|:3$

$CH_{3} = 12HH_{3}$

$CH = CH_{3} - HH_{3} = 12HH_{3} - HH_{3} = 11HH_{3} \Longrightarrow HH_{3} = \frac{CH}{11}$

$HH_{3} * AB = 3$

$\frac{CH}{11} * AB = 3 |* 11$

$CH * AB = 33$

Продолжение решения задач (задачи 2,3) смотрите в вордовском файле!!!

Answer 2

Ответ:

Объяснение:

I. Дано: ΔАВС - остроугольный.

Точка Н - ортоцентр, то есть точка пересечения высот.

АН·ВС=9; ВН·АС=30;

$S_{ABC}=18$

Найти: СН·АВ

Решение:

1.

$S_{ABC}=\frac{1}{2}AC*BE\\18=\frac{1}{2}*AC*(BH+BE)\\AC*BH+AC*BE=36\\30+ AC*BE=36\\\\AC*BE=6\\HE=\frac{6}{AC}$

2.

$S_{ABC}=\frac{1}{2}BC*AM\\BC*(AH+HM)=36\\BC*AH+BC*HM=36\\9+BC*HM=36\\HM=\frac{27}{BC}$

3. Рассмотрим ΔЕНС и ΔАКС - прямоугольные.

∠1 - общий

⇒ ΔЕНС ~ ΔАКС

$></p> <p>4. Рассмотрим   ΔНМС и ΔКВС - прямоугольные</p> <p>∠2 - общий</p> <p>⇒ ΔНМС ~ ΔКВС</p> <p><img src=$

5. Найдем АВ

$AB=AK+KB=\frac{6}{CH}+\frac{27}{CH}=\frac{33}{CH}$

6. Найдем искомое произведение:

$AB*CH=\frac{33}{CH}*CH=33$

II. Дано: ABCD - трапеция

МК - средняя линия

$S_{AMKD}=2S_{MBCK}$

Найти: AD:BC

Решение:

Пусть ВС=х; AD=y

⇒ $MK=\frac{x+y}{2}$

$BO=OH=h$ (МК - средняя линия)

Уравняем площади верхней и нижней трапеций согласно условию:

$\frac{y+\frac{x+y}{2} }{2}*h=2*\frac{x+\frac{x+y}{2} }{2}*h\\\frac{2y+x+y}{2} =2*\frac{2x+x+y}{2}\\3y+x=6x+2y\\y=5x\\\frac{y}{x}=\frac{5}{1}$

III. Дано: ABCD - трапеция

AD=2AB=2BC

AC=7; CD=5

Найти: $S_{ABCD}$

Решение:

Отметим точку К - середину AD

1. Рассмотрим АВСК

АВ=ВС (условие)

ВС=АК; ВС║АК (условие)

⇒АВСК - ромб

⇒АС⊥ВК; АО=ОС=3,5 (свойства ромба)

2. Рассмотрим ΔКCD

КС=КD (условие, построение)

⇒ ΔКCD - равнобедренный.

Проведем высоту КН ⇒КН - высота, медиана

⇒CH=HD

3. Рассмотрим ΔACD

CH=HD (п.2); AK=KD (построение)

⇒КН - средняя линия

⇒КН=7:2=3,5; КН║ОС

4. Рассмотрим КОСН

КН=ОС; КН║ОС; КН⊥CD; КВ⊥АС⇒КОСН-прямоугольник

⇒ОК=СН=2,5

5.

$S_{ABCD}=S_{ABCK}+S_{KCD}\\S_{ABCD}=\frac{1}{2}*AC*BK+\frac{1}{2}*CD *KH=\frac{1}{2}*5*7+\frac{1}{2}* 5*3,5=17,5+8,75=26,25$

Answer 3

Конечно, начнем с первой задачи.

Заметим, что $AH \cdot BC = 9$ и $BH \cdot AC = 30$. Умножим оба уравнения друг на друга:

$(AH \cdot BC) \cdot (BH \cdot AC) = 9 \cdot 30 = 270$.

Так как площадь треугольника ABC равна 18, то мы можем использовать формулу для площади треугольника через стороны и радиус описанной окружности, $S = \frac{abc}{4R}$, где $a$, $b$, и $c$ — стороны треугольника, а $R$ — радиус описанной окружности.

Мы знаем, что $S = 18$. Таким образом, мы можем записать:

$\frac{abc}{4R} = 18$.

Учитывая, что $R = \frac{abc}{4S}$, мы можем выразить $R$ через известные значения и продолжить вычисления. Таким образом, мы найдем $R$.

Зная $R$, мы можем найти длину стороны треугольника, которую мы еще не нашли, и, зная все стороны треугольника, найдем $CH \cdot AB$.

Теперь перейдем ко второй задаче. Давайте определим метки точек на трапеции ABCD, чтобы понять структуру трапеции и применить известные условия для нахождения отношения оснований и площади трапеции.