Question

Вершини А і В трикутника ABC лежать по один бік від площини &, а вершина С по другий. Доведіть, що точки перетину сторін ВС і АС та медіани СМ з площиною & лежать на одній прямій.

Answer 1

Розв'язання завдання додаю

Те, що олiвцем можна не малювать. Це для зручностi побудови

Answer 2

Для доведення цього твердження використовується геометрична концепція барицентричних координат.

Нехай A, B і C - вершини трикутника ABC, де вершини A і B лежать по одній стороні від площини & (нехай & буде площиною, що містить С), і вершина C лежить по інший стороні від цієї площини.

1. Нехай M - середина сторони AB (точка, в якій медіана з точки C перетинає сторону AB).

2. Позначимо точку перетину сторін ВС і АС як P.

Тепер давайте розглянемо барицентричні координати цих точок.

Барицентричні координати точки A у відношенні до трикутника ABC дорівнюють (1,0,0), оскільки ця точка лежить на вершині A.

Барицентричні координати точки B дорівнюють (0,1,0), оскільки ця точка лежить на вершині B.

Барицентричні координати точки C дорівнюють (0,0,1), оскільки ця точка лежить на вершині C.

Барицентричні координати середини сторони AB (точки M) дорівнюють (1/2, 1/2, 0), оскільки ця точка є серединою сторони AB.

За властивостями барицентричних координат для точки P, яка лежить на стороні ВС, справедливо: P = λA + (1 - λ)C, де 0 ≤ λ ≤ 1.

За властивостями барицентричних координат для точки P, яка лежить на стороні АС, справедливо: P = μB + (1 - μ)C, де 0 ≤ μ ≤ 1.

Ми хочемо довести, що точка M лежить на цій же прямій. Для цього нам потрібно показати, що λ і μ однакові. Для цього ми можемо рівняння двох виразів для точки P:

λA + (1 - λ)C = μB + (1 - μ)C

Зробимо підстановку виразів для A, B, C:

λ(1, 0, 0) + (1 - λ)(0, 0, 1) = μ(0, 1, 0) + (1 - μ)(0, 0, 1)

Отримуємо:

(λ, 0, 0) + (0, 0, 1 - λ) = (0, μ, 0) + (0, 0, 1 - μ)

Тепер розглянемо компоненти x, y і z цього рівняння:

1. λ = 0 і 1 - λ = 1 - μ = 0, це означає, що λ = μ = 0.
2. Оскільки λ = μ = 0, то інші компоненти також дорівнюють нулю.

Це означає, що барицентричні координати точки P для сторін ВС і АС однакові:

P = (0, 0, 1 - λ) = (0, 0, 1 - μ).

Отже, точка P знаходиться на медіані СМ, і ми довели, що точки перетину сторін ВС і АС та медіани СМ лежать на одній прямій.