Question

Плоскости α и β параллельны. Через точку M, находящуюся между этими плоскостями, проведены две прямые. Одна из них пересекает плоскости α и β в точках A1 и B1, а другая — в точках A2 и B2 соответственно. Найдите отрезок A1 A2, если он на 1 см меньше отрезка B1 B2, MA2 = 4 см, A2 B2 = 10 см.

Answer 1

Плоскости α и β параллельны. Через точку M, находящуюся между этими плоскостями, проведены две прямые. Одна из них пересекает плоскости α и β в точках A₁ и B₁, а другая — в точках A₂ и B₂ соответственно . Найдите отрезок A₁A₂, если он на 1 см меньше отрезка B₁B₂,  MA₂ = 4 см, A₂B₂ = 10 см.

Объяснение:

1) Две пересекающиеся прямые А₁В₁ и А₂В₂ определяют плоскость

(А₁А₂ В₂) единственным образом ( аксиома). Эта плоскость пересекает параллельные плоскости  α и β  по параллельным прямым А₁А₂ и В₁В₂( свойство).

2) ΔМА₁А₂~ΔMB₁B₂  по 2-м углам : ∠А₁МА₂=∠B₁МB₂ как вертикальные ,  ∠А₁А₂М =∠В₁В₂М как накрест лежащие при  А₁А₂ || В₁В₂,  А₂В₂-секущая. Поэтому сходственные стороны пропорциональны

А₁А₂ : В₁В₂ = АМА₂ : МВ₂

А₁А₂ : (А₁А₂+1) = 4: ( 10-4)

4(А₁А₂+1)=А₁А₂*6   ⇒ А₁А₂= 2 cм

Answer 2

Поскольку плоскости α и β параллельны, то прямые, проведенные через точку m, также параллельны этим плоскостям.

Пусть a1b1 и a2b2 - отрезки, которые пересекают плоскости α и β в соответствующих точках а1 и b1, а a2 и b2. Так как a1b1 и a2b2 параллельны и находятся между плоскостями α и β, то они имеют одинаковую длину.

Обозначим отрезок a1a2 как x, а отрезок b1b2 как y. Тогда согласно условию задачи:

x + 1см = y

Также из условия задачи известно, что ma2 = 4см и a2b2 = 10см.

Используя теорему Пифагора в треугольнике ма2a1, можно выразить отрезок a1a2 (x):

x^2 + (ma2)^2 = (a1a2)^2

x^2 + 4^2 = (a1a2)^2

x^2 + 16 = (a1a2)^2

Аналогично, используя теорему Пифагора в треугольнике a2b2b1, можно выразить отрезок b1b2 (y):

y^2 + 10^2 = (b1b2)^2

y^2 + 100 = (b1b2)^2

Из первого уравнения можем выразить x:

x^2 = (a1a2)^2 - 16

Из второго уравнения можем выразить y:

y^2 = (b1b2)^2 - 100

Теперь подставим значения x, y и x + 1 в выражение x + 1 = y:

(a1a2)^2 - 16 + 1 = (b1b2)^2 - 100

(a1a2)^2 - (b1b2)^2 = 84

Раскроем скобки:

(a1a2 + b1b2)(a1a2 - b1b2) = 84

Учитывая, что a1a2 и b1b2 имеют одинаковую длину:

2x(x - 1) = 84

2x^2 - 2x - 84 = 0

Решим полученное квадратное уравнение:

x^2 - x - 42 = 0

(x - 7)(x + 6) = 0

Получаем два возможных значения для x: x = 7 или x = -6.

Так как отрезок не может иметь отрицательную длину, то x = 7.

Таким образом, отрезок a1a2 равен 7 см.