Question

Дано вектори а(2; — 4), b(3; – 5) і k(5; – 7) Знайдіть такі числа х та у, що k = xa + yb.

Answer 1

Даны векторы а(2; -4), b(3; -5) и k(5; -7) . Найдите следующие числа х

и у, что вектор k = xa + yb.

Объяснение:

Учитывая , что координаты векторов  должны тоже удовлетворять этому равенству  $\displaystyle \vec {k} =x* \vec{a}+y* \vec{b}$ , составим систему

$\displaystyle \left \{ {{5=2x+3y|*2} \atop {-7=-4x-5y}} \right.$ , $\displaystyle \left \{ {{10=4x+6y} \atop {-7=-4x-5y}} \right.$ сложим почленно 3=у.

Найдем х , подставив у=3 в первое уравнение 5=2х+9, х=-2

Проверка( необязательно).

$\displaystyle -2 \vec {a} (-4;8)\\3\vec{b}(9;-15) \\\ - 2 \vec {a}+3\vec{b}(-4+9;8-15) =>2 \vec {a}+3\vec{b}(5;-7)$ .А это координаты вектора k по условию.

Ответ .х=-2 ,у=3

Answer 2

Щоб знайти числа x та y, які задовольняють рівняння k = xa + yb, переведемо дане рівняння в систему рівнянь.

Маємо вектори a(2, 4), b(3, -5) і k(5, -7).

Виділимо компоненти x і y у рівнянні: k = xa + yb.

Отже, маємо два рівняння: 5 = 2x + 3y -7 = 4x - 5y

Тепер можемо вирішити цю систему рівнянь. Приведемо її до традиційного вигляду:

2x + 3y = 5 4x - 5y = -7

Можна вирішити цю систему за допомогою методів елімінації або підстановки. Використаємо метод елімінації і помножимо перше рівняння на 2, а друге - на 3, щоб отримати однаковий коефіцієнт для х.

4x + 6y = 10 12x - 15y = -21

Знайдемо різницю між другим і третім рівняннями:

(12x - 15y) - (4x + 6y) = -21 - 10 8x - 21y = -31

Тепер маємо систему рівнянь:

4x + 6y = 10 8x - 21y = -31

Розглянемо перше рівняння, помножимо його на 2 і додамо до другого рівняння:

8x + 12y = 20 8x - 21y = -31

Віднімаємо перше рівняння від другого:

8x - 8x + 12y + 21y = -31 - 20 33y = -51

Розділимо обидві частини на 33:

y = -51 / 33 y = -1.5

Підставивши значення y у попереднє рівняння, отримуємо:

4x + 6*(-1.5) = 10 4x - 9 = 10 4x = 10 + 9 4x = 19 x = 19 / 4 x = 4.75

Таким чином, числа x та y, що задовольняють рівняння k = xa + yb, дорівнюють x = 4.75 і y = -1.5.