Question

В правильной четырехугольной пирамиде плоский угол при вершине равен углу между боковым ребром и ребром основания. Определите двугранный угол при боковом ребре пирамиды, зная, что плоский угол при вершине равен 60°.

Answer 1

Боковые грани заданной пирамиды - правильные треугольники.

Основание - квадрат со стороной, равной стороне боковой грани.

Примем длины всех рёбер, равными 1.

Искомый угол - это угол между высотами ВЕ и ЕD к боковому ребру.

ВЕ = ЕD = 1*cos 30 = √3/2.

Диагонаь основания BD = √2.

Угол находим по теореме косинусов.

cos φ = ((√3/2)² + (√3/2)² - (√2)²)/(2*(√3/2)*(√3/2)) =

          = ((3/4) + (3/4) - 2)/(2*(3/4)) = (6/4) - 2)/(6/4)  =

          = (-1/2)/(3/2) = -1/3.

Ответ: двугранный угол при боковом ребре пирамиды равен

           arccos(-1/3) ≈ 109,4712°.

Answer 2

Для решения этой задачи мы можем воспользоваться теоремой косинусов. Пусть \(a\) - боковое ребро пирамиды, \(b\) - ребро основания, \(c\) - высота пирамиды, тогда двугранный угол при боковом ребре можно найти по формуле:

\[ \cos{\alpha} = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \]

Из условия задачи мы знаем, что плоский угол при вершине равен 60°, следовательно, двугранный угол при боковом ребре равен \(180° - 60° = 120°\). Теперь мы можем подставить известные значения в формулу и найти \(a\):

\[ \cos{120°} = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \]

Теперь нам нужно найти высоту пирамиды \(c\). Мы знаем, что плоский угол при вершине равен углу между боковым ребром и ребром основания, а это значит, что треугольник, образованный боковым ребром, половиной ребра основания и высотой, является равнобедренным. Поэтому мы можем выразить высоту через боковое ребро и ребро основания:

\[ c = \sqrt{a^2 - \frac{b^2}{4}} \]

Теперь мы можем подставить значение \(c\) в уравнение для нахождения \(a\), зная, что \(b = 2c \tan{30°}\):

\[ \cos{120°} = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} \]

После подстановки и решения уравнения мы найдем, что \(a \approx 1.73c\), и, следовательно, двугранный угол при боковом ребре пирамиды составляет около 45°.