Question

2.44. АВ Является общим основанием равнобедренных треугольников АВС и АBD, а вершины С и D находятся по разные стороны от прямой АВ. Покажите, что отрезки АВ CD перпендикулярны.​

Answer 1

Рассмотрим  равнобедренный треугольник ABC

АС=СВ

Проведем высоту СК

CK⊥AB

∠СКВ=90°

Высота СК является одновременно и медианой. Поэтому  АК=КВ

Рассмотрим равнобедренный треугольник  АВD,

DA=DB

Так как АК=КВ, проведем медиану КD

В равнобедренном треугольнике АВD   медиана является одновременно и высотой.

Поэтому КD⊥AB

Из условий CK⊥AB  и КD⊥AB  получаем, что СD⊥AB

Answer 2

Для доказательства перпендикулярности отрезков АВ и CD воспользуемся свойствами равнобедренных треугольников и теоремой о перпендикулярности.

Из условия известно, что треугольники АВС и АBD являются равнобедренными, а отрезки АВ и CD пересекаются в точке М.

Поскольку треугольник АВС равнобедренный, то стороны АС и ВС равны. Аналогично, в равнобедренном треугольнике АBD стороны АD и BD равны.

Таким образом, имеем: АС = ВС (1) АD = BD (2)

Поскольку основание АВ является общим для треугольников АВС и АBD, у них также равны боковые стороны: СD = СМ + МD (3)

Теперь мы можем предположить, что отрезки АВ и CD не перпендикулярны и образуют угол α.

Посмотрим на треугольники АСМ и ВDM. У них есть следующие равные стороны: АС = ВС (из (1)) АМ = DM (общая сторона) Углы САМ и BDM равны 90 градусам (так как АВ и CD перпендикулярны по предположению)

Таким образом, треугольники АСМ и ВDM являются равными по двум сторонам и углу, следовательно, они равны.

Из равенства треугольников АСМ и ВDM следует, что их третьи стороны также равны: СМ = DM

Теперь вернемся к равенству (3): CD = СМ + МD

Подставим СМ = DM в это равенство: CD = DM + МD

Таким образом, получаем: CD = DM + МD = СМ + МD

Но это означает, что стороны CD и СМ равны.

Получили противоречие с предположением о неперпендикулярности отрезков АВ и CD.

Следовательно, отрезки АВ и CD перпендикулярны.