Question

Дан треугольник ABC. Биссектрисы угла A и угла B пересекаются в точке D, которая соединена с вершиной треугольника С. Найдите угол ВCD, если угол ADB равен 110°.

Answer 1

Ответ:

Обозначим угол BCD как x. Тогда по свойству биссектрисы угла A, угол ADB равен углу CDB. Значит, угол CDB тоже равен 110°.

Также заметим, что угол BDC равен полусумме углов B и C, так как CD является биссектрисой угла B и угла C. Поэтому:

∠BDC = 1/2(∠B + ∠C)

Заменим ∠C на угол CDB, который мы нашли выше:

∠BDC = 1/2(∠B + 110°)

Но ∠BDC и угол ВCD являются смежными углами, поэтому:

∠BDC + ∠BCD = 180°

Заменим ∠BDC на выражение, которое мы получили выше:

1/2(∠B + 110°) + x = 180°

Упростим выражение:

∠B/2 + x = 70°

∠B/2 = 70° - x

∠B = 2(70° - x)

Теперь заметим, что угол ВCD является внешним углом треугольника ACD. Поэтому:

∠BCD = ∠BAC + ∠ACD

Но угол АDC является внутренним углом треугольника ABC, и его смежный угол BDA равен 110°. Значит, угол BAC равен полусумме углов A и B минус 90°, так как в сумме углы треугольника ABC равны 180°:

∠BAC = 1/2(∠A + ∠B) - 90°

Заменим ∠B на 2(70° - x), а ∠A на 180° - ∠B - ∠C:

∠BAC = 1/2(180° - 2(70° - x) - ∠C) - 90°

Упростим выражение, заменив ∠C на 110°:

∠BAC = x - 25°

Теперь заменим ∠BAC и ∠BCD в формуле для ∠BDC + ∠BCD = 180°:

x - 25° + 110° + x = 180°

Упростим выражение и решим уравнение:

2x + 85° = 180°

2x = 95°

x = 47.5°

Таким образом, угол ВCD равен 110° - 47.5° = 62.5°.

Answer 2

Чтобы найти угол ВCD, нам необходимо воспользоваться свойством биссектрисы треугольника.

Согласно свойству биссектрисы, она делит противолежащий ей угол на две равные части. В данном случае, биссектриса угла B делит угол ADB на два равных угла, поскольку она проходит через точку D.

Таким образом, угол ADB равен 110°, что означает, что каждый из получившихся равных углов составляет половину этого значения: 110° / 2 = 55°.

Теперь обратимся к треугольнику BCD. Мы знаем, что угол BCD является внутренним углом треугольника, и сумма всех внутренних углов треугольника равна 180°.

Учитывая, что угол BCD равен x, мы можем записать следующее уравнение:

55° + 55° + x = 180°

Суммируя равные углы, получаем:

110° + x = 180°

Вычитаем 110° из обеих сторон уравнения:

x = 180° - 110°

x = 70°

Таким образом, угол ВCD равен 70°.