Question

В прямоугольном треугольнике ABC с углом A, равным 30◦ , к гипотенузе AC поведена высота BH. На стороне BC выбрана точка K так, что KC = HC. Лучи AB и HK пересекаются в точке N. Найдите отношение отрезков AH и KN.

Answer 1

Ответ:  3:2

Объяснение: Треугольник КСН равнобедреный с углом С=60 градусов в вершине являтеся равносторонним значит СН=СК. В прямоугольном треугольнике СВН катет СН лежит против угла 30 градусов, значит равен половине своей гипотенузы, отсюда СВ =2 СН, а учитывая, что СК=СН, получаем, что КВ=СК=СН. В треугольнике NКВ угол К=60 градусов как вертикальный с углом СКН, значит угол КNВ равн 30 градусов и катет КВ= половине NК, а NК=2КВ=2СН. Итак, мы выразили КN через СН. Выразим теперь АН через СН и потом найдем их отношение, в котором СН сократиться. Но СН и АН связаны  друг  с другом  высотой ВН, квадрат которой равен произведению СН и АН. Дополнитльная связь отдельно между СН и ВН находится в прямоугольном треугольнике СВН: Отношение ВН к СН равно тангенсу 60 градусов  , то есть корню квадратному из числа 3.  Итак, ВН равно СН умноженное на корень квадратный из числа 3. Согласно теореме о том, что квадрат ВН равен произведнию СН на АН, находим соотношение между АН и СН: АН=3СН. Итак, подводим итог, АН=3СН, КN=2СН, из отношение равно 3:2.

Answer 2

Чтобы найти отношение отрезков AH и KN, нам нужно выразить их через известные данные.

Обозначим длину гипотенузы AC как c, длину стороны AB как a и длину стороны BC как b.

Из условия треугольника с углом A = 30°, мы знаем, что соотношение сторон треугольника ABC равно a : b : c = √3 : 1 : 2.

Также, поскольку треугольник ABC прямоугольный, мы можем использовать теорему Пифагора:

a^2 + b^2 = c^2

Так как угол A = 30°, то высота BH является медианой и делит гипотенузу AC пополам. То есть, AH = HC = c/2.

Теперь рассмотрим треугольник BHK. Мы знаем, что KC = HC = c/2.

Из подобия треугольников ABC и BHK (по признаку общего угла и соответствующих сторон) мы можем сделать следующее соотношение:

KN/NC = AH/HC

Заменяя KN на KN = KC - NC и подставляя значения AH и HC, получим:

(KC - NC)/NC = (c/2)/(c/2)

Simplifying:

2(KC - NC) = NC

2KC - 2NC = NC

2KC = 3NC

Теперь заметим, что NC + KC = b, поскольку NK и KC являются отрезками на стороне BC.

Таким образом, мы можем переписать последнее уравнение:

2KC = 3NC

2KC = 3(b - KC)

Раскрывая скобки:

2KC = 3b - 3KC

5KC = 3b

KC = 3b/5

Теперь, чтобы найти отношение AH и KN, мы можем подставить значение KC обратно в уравнение KN/NC = AH/HC:

KN/NC = AH/HC

KN/(3b/5) = (c/2)/(c/2)

KN/(3b/5) = 1

KN = 3b/5

Таким образом, отношение отрезков AH и KN равно 1 : 3/5 или 5 : 3.

Ответ: Отношение отрезков AH и KN равно 5 : 3.