Question

В равнобедренном треугольнике высота равна 2, сумма длин основания и высоты равна диаметру описанной окружности. Найти радиус окружности, описанной около этого треугольника. Помогите, пожалуйста.

Answer 1

Ответ:

R=5

Объяснение:

На рисунке я изобразил данный в условии треугольник как тупой, но это неважно, ибо на решение это не повлияет

1)Продолжу высоту, новый отрезок будет равен сумме основания и высоты, поскольку продолжение серединного перпендикуляра до точки пересечения с окружностью есть диаметр(высота в условии, думаю, проведена к основанию).

2)Обозначу длину основания за 2x

3)По теореме Пифагора найду по стороне в каждом треугольнике(их размеры уже обозначил на рисунке)

4)Заметим, что между сторонами x√5 и √(4+x²) прямой угол, поскольку он опирается на диаметр

5) Составим уравнение: с одной стороны диаметр равен 2+2x, а с другой его можно найти по Пифагору через найденные раннее стороны

$(2x + 2)^{2} = (\sqrt{4 + x ^{2} })^{2} + 5 {x}^{2} \\ 4 {x}^{2} + 8x + 4 = 4 + {x}^{2} + 5 {x}^{2} \\ 2 {x}^{2} - 8x = 0 \\ 2x(x - 4) = 0 \\ x = 0 \\ x = 4$

Поскольку сторона не нулевая, то подходит только x=4

Значит диаметр равен 2x+2=8+2=10, а радиус, следовательно, пяти

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, воспользуемся свойствами равнобедренного треугольника и описанной окружности.

Пусть основание равнобедренного треугольника равно a, а высота равна 2. Пусть радиус описанной окружности равен R.

Мы знаем, что в равнобедренном треугольнике высота, опущенная из вершины до основания, является биссектрисой, медианой и высотой. Это означает, что треугольник разбивается на два прямоугольных треугольника. Поэтому половина основания равна половине диаметра описанной окружности, то есть a/2 = R.

Также по условию задачи сумма длин основания и высоты равна диаметру описанной окружности, т.е. a + 2 = 2R.

Мы получили систему из двух уравнений:

a/2 = R a + 2 = 2R

Решим эту систему. Выразим a из первого уравнения: a = 2R.

Подставим это значение a во второе уравнение: 2R + 2 = 2R.

Уравнение имеет одну и ту же переменную с обеих сторон, поэтому оно выполняется для любых значений R. Это означает, что радиус описанной окружности может быть любым положительным числом.

Таким образом, радиус описанной окружности не зависит от размеров равнобедренного треугольника и равен R.