Question

У трикутник АВС вписано коло, яке дотикається до його сторін у точках D, E і F. Знайди суму довжин відрізків BD, AF і EC (точки D знаходиться на стороні АВ, точка Е на ВС, а точка F на АС), якщо периметр трикутника АВС дорівнює 16 см. Допоможіть

Answer 1

Задача вимагає застосування властивостей вписаного кола в трикутнику.

Загальна властивість вписаного кола в трикутнику стверджує, що точки дотику кола до сторін трикутника лежать на бісектрисах кутів, утворених цими сторонами. Це означає, що відрізки BD, AF і EC є бісектрисами кутів трикутника АВС.

Оскільки точки D, E і F є точками дотику кола до сторін трикутника, то вони розташовані на рівні відстані від відповідних вершин трикутника АВС. З цього можна зробити висновок, що трикутник АВД, трикутник АФС і трикутник ВЕС є піврівні трикутники.

Оскільки периметр трикутника АВС дорівнює 16 см, то кожна з його сторін має довжину 16/3 см (оскільки трикутник піврівний, то відрізок, що його ділить, також розподіляється порівну).

Таким чином, довжини відрізків BD, AF і EC також дорівнюють 16/3 см кожен.

Сума довжин відрізків BD, AF і EC буде:

BD + AF + EC = (16/3) + (16/3) + (16/3) = 48/3 = 16 см.

Отже, сума довжин відрізків BD, AF і EC дорівнює 16 см.

Answer 2

При вписаному колі до трикутника АВС, точки дотику кола до сторін утворюють три відрізки, які є відрізками касательних до кола. За властивостями вписаного кута, кожен з цих відрізків є середньою лінією трикутника, і його довжина дорівнює половині суми довжин суміжних сторін.

Означимо довжини відрізків BD, AF і EC як x, y і z відповідно.

За вказаними властивостями, ми можемо записати наступні рівності: x = (AB + AC - BC) / 2 y = (AB + BC - AC) / 2 z = (AC + BC - AB) / 2

Знаючи, що периметр трикутника АВС дорівнює 16 см, ми можемо записати наступне: AB + AC + BC = 16

Підставимо значення x, y і z в це рівняння: (AB + AC - BC) / 2 + (AB + BC - AC) / 2 + (AC + BC - AB) / 2 = 16

Зведемо це рівняння: AB + AC + BC - BC + AB + BC - AC + AC + BC - AB = 32

Скоротимо подібні доданки: 2(AB + AC + BC) = 32

Поділимо обидві частини на 2: AB + AC + BC = 16

Отже, ми бачимо, що отримали те саме рівняння, яке нам дали на початку. Це означає, що сума довжин відрізків BD, AF і EC дорівнює периметру трикутника АВС, тобто 16 см.

Отже, сума довжин відрізків BD, AF і EC дорівнює 16 см.