Question

3 У колі з центром О проведено дві рівні хорди AB і CD. 2) Доведіть, що AC=BD.

Answer 1

Відповідь:

AC = AO + OC = DO + OB = BD, що і треба було довести.

Пояснення:

Звернемо увагу, що хорди AB і CD розділяють коло на 4 дуги. За теоремою про хорди, що ділять коло на 4 дуги, дуги, які містять AB і CD, мають однакову міру кута.

Також відомо, що хорди AB і CD є рівними, отже, вони мають однакову довжину.

Позначимо точку перетину хорд за М. Тоді за властивостями кола, кут AOM дорівнює куту COM, а кут BOM дорівнює куту DOM.

Отже, трикутники AOM і DOM є подібними, так само як і трикутники BOM і COM.

З цього випливає, що співвідношення між сторонами трикутників AOM і DOM дорівнює співвідношенню між сторонами трикутників BOM і COM.

Оскільки хорди AB і CD є рівними, то сторони трикутників AOM і DOM також є рівними. Аналогічно, сторони трикутників BOM і COM є рівними.

Отже, AC = AO + OC = DO + OB = BD, що і треба було довести.

Answer 2

Для доведення того, що AC = BD, ми можемо скористатися властивістю кола, яка говорить, що хорди, що рівні за довжиною та паралельні одна одній, рівні між собою.

Оскільки хорди AB і CD рівні та паралельні, ми можемо стверджувати, що:

AB = CD (хорди рівні)

Для того, щоб довести, що AC = BD, нам потрібно довести, що обидві хорди перетинаються у центрі кола, тобто є їх перпендикулярні бісектриси.

Оскільки AB і CD є рівними хордами, то ми можемо сказати, що їх серединні точки, позначені як M і N, відповідно, є центрами кола.

Таким чином, OM = ON (рівні радіуси).

Також, оскільки AB і CD є паралельними, ми можемо сказати, що OM || AC і ON || BD.

З останніх двох відношень ми отримуємо, що OMAC і ONBD є прямокутниками.

У прямокутнику OMAC, дві сторони OM і AC рівні (OM = AC) і перпендикулярні одна одній.

У прямокутнику ONBD, дві сторони ON і BD рівні (ON = BD) і перпендикулярні одна одній.

Таким чином, ми довели, що сторони прямокутників OMAC і ONBD рівні одна одній.

Оскільки сторони цих прямокутників є сторонами хорд AB і CD відповідно, ми можемо стверджувати, що:

AC = OM = BD = ON.

Отже, ми довели, що AC = BD.