Question

О - точка перетину діагоналей AC і BD трапеції ABCD (AD || ВС). Знайдіть основи цієї трапеції, якщо АО: ОС = 5: 2, а сума основ дорівнює 56 см.

Answer 1

Для розв'язання цього завдання скористаємося пропорціями в подібних трикутниках та властивостями трапеції.

Нехай основи трапеції ABCD мають довжини a та b, де a > b.

Оскільки AO:OC = 5:2, то можна ввести коефіцієнт пропорційності k, такий що AO = 5k і OC = 2k.

За теоремою про точку перетину діагоналей трапеції, маємо наступну рівність площ трикутників AOB і COD:

(AO * OB) / 2 = (OC * OD) / 2

(5k * b) / 2 = (2k * a) / 2

5k * b = 2k * a

Розділимо обидві частини рівності на k:

5b = 2a

За умовою задачі, сума основ дорівнює 56 см:

a + b = 56

Тепер маємо систему рівнянь:

5b = 2a a + b = 56

З рівняння 5b = 2a отримуємо:

a = (5/2) * b

Підставимо це значення в рівняння a + b = 56:

(5/2) * b + b = 56

(7/2) * b = 56

Помножимо обидві частини рівняння на (2/7):

b = (2/7) * 56

b = 16

Підставимо b у вираз a = (5/2) * b:

a = (5/2) * 16

a = 40

Таким чином, основи трапеції ABCD мають довжини 40 см і 16 см.