Question

Радиус окружности, вписанной в правильный треугольник, равен 6 см. Вычислите площадь треугольника.    Помогите решить 

Answer 1

Ответ:

$108\sqrt{3}$ см².

Объяснение:

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, воспользуемся следующими свойствами правильного треугольника:

1. Центр вписанной окружности совпадает с центром правильного треугольника.
2. Радиус вписанной окружности равен расстоянию от центра треугольника до любой из его сторон.
3. Высота треугольника, проведенная к одной из сторон, делит эту сторону на две равные части.

Используя эти свойства, можно построить высоту треугольника, проведенную к одной из его сторон, и разделить эту сторону на две равные части. Таким образом, получим прямоугольный треугольник, в котором гипотенуза равна 12 см (двойной радиус вписанной окружности) и один из катетов равен половине стороны треугольника.

Применим теорему Пифагора, чтобы найти второй катет прямоугольного треугольника:

$a^2 + b^2 = c^2$

$(\frac{s}{2})^2 + b^2 = 12^2$

$\frac{s^2}{4} + b^2 = 144$

Так как треугольник является правильным, его сторона равна двойному значению катета $b$:

$s = 2b$

Подставим это значение в уравнение:

$\frac{(2b)^2}{4} + b^2 = 144$

$4b^2 + 4b^2 = 576$

$8b^2 = 576$

$b^2 = 72$

$b = \sqrt{72} = 6\sqrt{2}$ см

Теперь, зная значение второго катета, можно найти площадь треугольника:

$S = \frac{1}{2} \cdot s \cdot b$

$S = \frac{1}{2} \cdot 2b \cdot b$

$S = b^2$

$S = (6\sqrt{2})^2$

$S = 72$ см²

Таким образом, площадь треугольника равна 72 квадратным сантиметрам.