Question

Дан треугольник АВС с вершинами А(11;-2;-9), В(2;6;-4), С(8;-6;-8). Докажите перпендикулярность векторов АВ и АС. (Найти координаты этих векторов и применить условие перпендикулярности векторов).

Answer 1

Ответ:

Объяснение:

Найдем координаты вектора АВ

АВ(х;у;z) = AB$(x_b-x_a;y_b-y_a;z_b-z_a) = AB(2-11;6+2;-4+9)=AB(-9;8;5)$

AC)x;y;z)=$AC(x_c-x_a;y_c-y_a;z_c-z_a)= AC(8-11;-6+2;-8+9)=AC(-3;-4;1)$

По условию перпендикулярности веторов векторы перпендикулярны, если скалярное произведение векторов равно нулю. Скалярное произведение по координатам вычислить легко, нужно перемножить соответствующие координаты и сложить их:

$(AB*AC) = x_1*x_2 + y_1*y_2+z_1*z_2)=(-9)*(-3) + 8*(-4)+5*1 = 27-32+5 = 0$

Раз скалярное произведение равно нулю, то АВ перпендикулярно АС

Answer 2

Для доказательства перпендикулярности векторов АВ и АС, мы можем воспользоваться свойством скалярного произведения, которое гласит: "Если скалярное произведение двух векторов равно нулю, то эти векторы перпендикулярны".

Координаты вектора АВ можно найти, вычтя координаты точки А из координат точки В: AB = BV - BA = (2 - 11, 6 - (-2), -4 - (-9)) = (-9, 8, 5).

Аналогично, координаты вектора АС можно найти, вычтя координаты точки А из координат точки С: AC = CV - CA = (8 - 11, -6 - (-2), -8 - (-9)) = (-3, -4, -1).

Теперь мы можем вычислить скалярное произведение этих двух векторов и проверить, равно ли оно нулю:

AB · AC = (-9 * -3) + (8 * -4) + (5 * -1) = 27 - 32 - 5 = 0.

Так как скалярное произведение АВ и АС равно нулю, мы можем заключить, что эти векторы перпендикулярны друг другу.