Question

В треугольнике ABC AB=8 см, A=B=50°. Найдите 1) сторону AC 2) высоту AH 3) медиану CM 4) биссектрису AD 5) R описанной окружности​

Answer 1

Объяснение:

1)

cosA=(AB/2):AC=4:AC

AC=4:cos50=4:0,642788=6,2229 cм

2)

sin B=AH/AB

AH=AB×sin50=8×0,766044=6,1284 cм

3)

tgA=CM:(AB/2)=CM:(8/2)=CM:4

CM=4×tg50=4×1,19175=4,767 cм

Или по формуле:

СМ= 1/2×корень(4×АС^2-АВ^2)=

=1/2×корень(4×(6,2229)^2-8^2)=

=1/2×корень91=1/2×9,539=4,77 см

4)

По формуле:

R=AC^2/(корень(АС^2-АВ^2)=

=6,2229^2 / (корень(2×6,2229^2-8^2)=

=38,72 / (корень( 77, 45-64))=

=38,72 / 3,67=10,55 см

Answer 2

1) С помощью закона синусов найдем сторону AC:

$$\frac{AC}{\sin C} = \frac{AB}{\sin B}$$

$$\frac{AC}{\sin(180°-A-B)} = \frac{8}{\sin 50°}$$

$$AC = \frac{8\sin(130°)}{\sin 50°} \approx 9.71\text{ см}$$

Ответ: $AC \approx 9.71\text{ см}$

2) Высота AH равна произведению стороны AC на синус угла A:

$$AH = AC \sin A = 8\sin 50° \approx 6.14\text{ см}$$

Ответ: $AH \approx 6.14\text{ см}$

3) Медиана CM является медианой к стороне AC. Ее длина равна половине длины стороны AC:

$$CM = \frac{1}{2} AC \approx 4.85\text{ см}$$

Ответ: $CM \approx 4.85\text{ см}$

4) Биссектриса AD делит угол A пополам и пересекает сторону BC в точке D. С помощью формулы биссектрисы найдем ее длину:

$$AD=\frac{2bc\cos\frac{A}{2}}{b+c}$$

где $b=8\text{ см}$, $c\approx 9.71\text{ см}$.

$$AD=\frac{2\cdot 8\cdot 9.71\cdot\cos 25°}{8+9.71} \approx 7.9\text{ см}$$

Ответ: $AD \approx 7.9\text{ см}$

5) Радиус описанной окружности вычисляется по формуле:

$$R = \frac{abc}{4S}$$

где $a,b,c$ - стороны треугольника, $S$ - его площадь. Площадь можно вычислить, зная длины двух сторон и угла между ними:

$$S = \frac{1}{2} AB\cdot AC\cdot\sin B \approx 30.15\text{ см}^2$$

$$R = \frac{8\cdot 9.71\cdot AC}{4\cdot 30.15} \approx 5.4\text{ см}$$

Ответ: $R\approx 5.4\text{ см}$