Question

сумма двух углов ромба равна 120° , а его периметр равен 24. Найдите расстояние между противоположными сторонами ромба.

Answer 1

24 4 = 6 см - сторона ромба

Если сумма двух углов равна 120°, то здесь дана сумма двух острых углов ромба, иначе сумма  была бы 180 °

Если мы проведем высоту , то высота образует при вершине угол равный в 30°, а катет против этого угла равен половине гипотенузы. В данном случае гипотенузой является сторона ромба.

62 = 3 cм катет против угла в 30°

Найдем второй катет по теореме Пифагора

b² = c² - a²

b = √36 - 9 =√27 = 3 √3 см -  второй катет, он же и высота и показывает расстояние между противоположными сторонами

Answer 2

Пусть каждая сторона ромба равна a, тогда периметр равен 4а. Из формулы для суммы углов четырёхугольника известно, что сумма углов ромба равна 360°. Тогда каждый угол ромба равен 360°/4 = 90°. Так как сумма двух углов равна 120°, то другие два угла равны 180°-120° = 60°.

По теореме косинусов в треугольнике ABC со сторонами AB, AC и BC и углом между сторонами АВ и АС можно выразить сторону BC:
BC² = AB² + AC² - 2AB·AC·cos(∠BAC)

Рассмотрим треугольник ABD, где BD – диагональ ромба (противоположная сторона называется AD). Он является прямоугольным, так как два его угла равны 90° и 60°, а диагональ BD является биссектрисой угла между сторонами AB и AD. Тогда по теореме Пифагора:

AB² = AD² + BD²

Также можно выразить длину диагонали через сторону ромба и угол между диагоналями (в треугольнике AEB):

BD = 2a·sin(∠EAB)

Так как ∠EAB = 60°, то sin(∠EAB) = √3/2.

Таким образом, мы получаем систему уравнений:

AB² = AD² + BD²
BD = 2a·sin(∠EAB)

или

AB² = AD² + (2a·sin(∠EAB))²

Выражая AD через сторону ромба a и расстояние между диагоналями d получаем:

AD = √[a² - (d/2)²]

Тогда:

AB² = [a² - (d/2)²] + (2a·sin(∠EAB))²

Simplifying the expression:

AB² = a² - 3d²/4 + 3a²/4

AB² = 2a² - 3d²/4

Периметр ромба выражается через сторону a:

4a = 24

a = 6

Подставляем значение a в уравнение для AB²:

AB² = 2·6² - 3d²/4

AB² = 72 - 3d²/4

Также мы знаем, что сумма двух противоположных углов равна 120°, что означает, что угол между диагоналями равен 60°. Тогда sin(60°) = √3/2, иначе говоря,:

d = 2a·sin(60°) = 6·√3

Теперь мы можем выразить d² и подставить значение a:

d² = (6·√3)² = 108

AB² = 72 - 3·108/4 = 18

AB = √18 = 3·√2

Ответ: расстояние между противоположными сторонами ромба равно 3·√2.