Question

Ребро октаэдра = а. Найти площадь его поверхности и объем. (с доказательством)

Answer 1

Дано октаэдр длина стороны=а
Октаедр имеет 8 граней каждая грани равносторонний треугольник площадь треугольника =  $\frac{ a^{2} \sqrt{3} }{4}$ отсюда Sплощадь его поверхности равна  $2 a^{2} \sqrt{3}$
Октаедр состоит с двух пирамид ребро и сторона основания которых равна а V пирамиды = $\frac{1}{3} a^{2} \frac{a \sqrt{2} }{2} = \frac{a^{3} \sqrt{2} }{6}$
V oктаедра =  $\frac{a^{3} \sqrt{3} }{3}$

Answer 2

Для начала рассмотрим, что такое октаэдр. Октаэдр - это многогранник, состоящий из восьми граней. Каждая грань является правильным многоугольником, причем у всех граней одинаковая форма и размер.

Пусть ребро октаэдра равно а. Так как каждая грань является правильным многоугольником, то каждый угол грани равен 360 градусов / количество углов многоугольника. У каждой грани октаэдра по 8 углов и каждый угол равен 45 градусам.

Теперь рассмотрим одну из граней октаэдра. Она является правильным восьмиугольником со стороной а. Площадь такого восьмиугольника можно вычислить, разбив его на 8 равных треугольников. Площадь одного такого треугольника равна (a^2 * sin(45)) / 2. Так как всего таких треугольников 8, то площадь одной грани равна 4 * a^2 * sin(45).

Таким образом, площадь поверхности октаэдра равна 8 * 4 * a^2 * sin(45) = 16 * a^2 * sqrt(2).

Чтобы найти объем октаэдра, мы можем разбить его на 8 пирамид, каждая из которых имеет основание в форме правильного восьмиугольника и высоту a. Объем одной такой пирамиды равен (1/3) * (площадь основания) * (высота) = (1/3) * (a^2 * sin(45)) * a = (a^3 * sqrt(2)) / 3. Так как всего таких пирамид 8, то объем октаэдра равен 8 * (a^3 * sqrt(2)) / 3 = (8/3) * a^3 * sqrt(2).

Таким образом, мы нашли, что площадь поверхности октаэдра равна 16 * a^2 * sqrt(2), а объем октаэдра равен (8/3) * a^3 * sqrt(2).