Question

Окружность проходит через вершины A и C треугольника ABC и пересекает его стороны AB, BC в точках К и Е соответственно. Отрезки АЕ и СК перпендикулярны. Найдите угол KCB, если угол АВС=20 градусов

Answer 1

Решение, чертёж и ответ во вложении.

Answer 2

Для решения этой задачи нам понадобится несколько свойств окружностей и треугольников.

Свойство 1: Угол, опирающийся на дугу, равен половине центрального угла, соответствующего этой дуге.

Свойство 2: Вписанные углы, опирающиеся на одну и ту же дугу, равны.

Свойство 3: Если две хорды пересекаются внутри окружности, то произведения отрезков этих хорд равны.

Используя эти свойства, решим задачу:

Пусть угол KCB равен x градусов. Тогда угол KCE также равен x градусов, так как противоположные вписанные углы равны. Также заметим, что угол ABC равен 160 градусов, так как его дополнение к углу АВС равно 180 градусов. Следовательно, угол AKC равен 20 + 160 = 180 градусов.

Так как отрезки АЕ и СК перпендикулярны, то АК = KC, AE = EC. Обозначим их общую длину через х.

Используя свойство 3, получаем:

AK * KB = CK * KE

x * KB = x * KE

KB = KE

Таким образом, треугольник KBE равнобедренный, и угол KEB равен (180 - x) / 2 градусов.

Теперь используем свойство 1, чтобы найти угол KAB:

Угол KAB = (180 - угол AKC) / 2 = 10 градусов.

Используя свойство 2, получаем:

Угол KBC = угол KAB + угол KEB = 10 + (180 - x) / 2 градусов.

Также из свойства 2 следует, что угол BKC равен (180 - угол KBC) градусов.

Используя свойство 1, получаем:

Угол BKE = угол BKC / 2 = (180 - угол KBC) / 2 градусов.

Теперь заметим, что угол BAC равен сумме углов KAB и BKE:

Угол BAC = угол KAB + угол BKE = 10 + (180 - угол KBC) / 2 градусов.

Так как угол BAC равен 20 градусов, то получаем уравнение:

10 + (180 - угол KBC) / 2 = 20

Угол