Question

Найдите основание равнобедренного треугольника, если центр вписанной в него окружности делит высоту, проведенную к основанию в отношении 5 : 4 , считая от вершины, а боковая сторона равна 26 см ПОмоите , молю

Answer 1

Решение в приложении

Answer 2

Пусть $ABC$ - равнобедренный треугольник с основанием $BC$, и $I$ - центр вписанной окружности. Пусть $D$ - точка касания вписанной окружности со стороной $BC$, $E$ - точка пересечения высоты $AH$ с основанием $BC$, где $H$ - точка пересечения высот.

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то $BD = DC$, и $AH$ является медианой и высотой, а значит $AE = \frac{2}{3}AH$, $HE = \frac{1}{3}AH$. Из подобия треугольников $AHE$ и $ABC$ получаем:

$\frac{AE}{AB}=\frac{HE}{BC} \qquad \Rightarrow \qquad \frac{2}{3} = \frac{1}{3+\frac{BC}{AB}} \qquad \Rightarrow \qquad \frac{BC}{AB}=1$

Таким образом, треугольник $ABC$ является равнобедренным и равносторонним.

Известно, что боковая сторона равна $AC=26$ см, поэтому $AB=BC=26$ см.

Так как треугольник $ABC$ равнобедренный, то $BD = DC = \frac{1}{2}BC = 13$ см. Из пропорции $\frac{HE}{AE+EH} = \frac{4}{5}$, где $AE=AB=26$, получаем $HE=\frac{8}{9}AE=\frac{208}{9}$ см. Также из подобия треугольников $ADE$ и $ABC$ получаем:

$\frac{DE}{BC}=\frac{AE}{AB} \qquad \Rightarrow \qquad DE=\frac{AE\cdot BC}{AB}=\frac{26^2}{2\cdot 26}=13$

Таким образом, основание треугольника $ABC$ равно $BC=AB=26$ см.