Question

Напишите теорему Фалеса и доказательство этой теоремы пожалуйста

Answer 1

Теорема.

Если параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают на одной его стороне равные отрезки, то они отсекают равные отрезки и на другой его стороне.



Доказательство.

Пусть точки A1, A2, A3 – точки пересечения параллельных прямых с одной из сторон угла. А точки B1, B2, B3 – соответствующие точки пересечения этих прямых с другой стороной угла. Докажем, что если A1A2 = A2A3, то B1B2=B2B3.
Проведем через точку В2 прямую С1С2, параллельную прямой A1A2. Получаем параллелограммы A1C1BA2 и A2B2C2A3. По свойствам параллелограмма, A1A2 = C1B2 и A2A3 = B2C2. Так как A1A2 = A2A3, то C1B2 = B2C2.
Δ C1B2B1 = Δ C2B2B3 по второму признаку равенства треугольников (C1B2 = B2C2, ∠ C1B2B1 = ∠ C2B2B3, как вертикальные, ∠ B1C1B2 = ∠ = B3C2B2, как внутренние накрест лежащие при прямых B1C1 и C2B3 и секущей С1С2). Из равенства треугольников следует, что B1B2=B2B3. Теорема доказана.

Answer 2

Теорема Фалеса утверждает, что если провести прямую линию, параллельную одной стороне треугольника, то она разобьет две другие стороны в пропорции их длин.

Доказательство:

Пусть ABC - произвольный треугольник, а DE - прямая, параллельная стороне BC, которая пересекает AB и AC в точках D и E соответственно.

Проведем отрезки AD и DB. Так как прямая DE параллельна стороне BC, то из соответствующих углов следует, что треугольник ADE подобен треугольнику ABC.

Таким образом, соотношение сторон треугольника ABC и треугольника ADE равно: AB / AD = AC / AE = BC / DE

Из этого соотношения следует, что AB / AD = BC / DE, или AD / AB = DE / BC. Таким образом, стороны AB и BC разбиваются отрезком AD в пропорции их длин.

Аналогично можно показать, что стороны AC и BC разбиваются отрезком AE в той же пропорции.

Таким образом, теорема Фалеса доказана.