Question

Докажите равенсво прямоугольных треугольников по катету и прилежащему к нему острому углу

Answer 1

Можно это доказать по теореме УСУ( угол сторона угол). Говорят, что сторона первого треугольника равна стороне второго. Значит осталось только доказать, что два угла одного треугольника равны двум углам второго. Эти треугольники прямоугольные, а это означает, что если один острый угол одного треугольника равен острому углу другого треугольника, то и второй острый угол одного треугольника равен острому углу другого. Такое условие здесь дано, значит два угла одного треугольника равны двум углам другого.
Два угла одного треугольника равны двум углам второго, а также сторона одного треугольника равна стороне второго. По теореме УСУ эти треугольники равны. Доказано.

Answer 2

Рассмотрим два прямоугольных треугольника с катетами $a$ и $b$, прилежащими к острому углу $\theta$:

cssCopy code
      |\           /|
      | \         / |
      |  \       /  |
      |   \     /   |
     a|    \   /    |b
      |     \ /     |
      |      X      |
      |             |

Здесь $X$ обозначает вершину прямого угла, $a$ и $b$ - катеты, а $\theta$ - острый угол между катетом $a$ и гипотенузой.

Из определения тригонометрических функций следует, что $\sin \theta = \frac{a}{c}$, где $c$ - гипотенуза треугольника. Из этого можно выразить $c$ как $c = \frac{a}{\sin \theta}$.

Также из определения тригонометрических функций следует, что $\cos \theta = \frac{b}{c}$. Подставляя выражение для $c$, получаем $\cos \theta = \frac{b}{\frac{a}{\sin \theta}}$, что равносильно $\cos \theta = \frac{b\sin \theta}{a}$.

Теперь рассмотрим другой прямоугольный треугольник с катетом $b'$ и прилежащим к нему острым углом $\theta$:

yamlCopy code
      |\           /|
      | \         / |
      |  \       /  |
      |   \     /   |
     b'|    \   /    |c'
      |     \ /     |
      |      X      |
      |             |

Аналогично, из определения тригонометрических функций следует, что $\sin \theta = \frac{b'}{c'}$ и $\cos \theta = \frac{a}{c'}$. Подставляя выражение для $c'$ из первого треугольника, получаем $\cos \theta = \frac{a\sin \theta}{b'}$.

Таким образом, мы получили два уравнения для $\cos \theta$ с одинаковыми значениями $\sin \theta$, а значит, они должны быть равны друг другу:

$\frac{b\sin \theta}{a} = \frac{a\sin \theta}{b'}$

Переносим $b'$ на одну сторону и $\sin \theta$ на другую и получаем:

$ab' = b a'$

что и доказывает равенство прямоугольных треугольников по катету и прилежащему к нему острому углу.