Question

Докажите равенство прямоугольных треугольников по катету и высоте, опущенной на гипотенузу.

Answer 1

Признаки равенства прямоугольных треугольников позволяют доказать равенство треугольников всего по двум парам элементов.

Признак равенства прямоугольных треугольников по двум катетам

Если два катета одного прямоугольного треугольника соответственно равны двум катетам другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и гипотенузе

Если катет и гипотенуза одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и гипотенузе другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Признак равенства по гипотенузе и острому углу

Если гипотенуза и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны гипотенузе и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны.

Признак равенства прямоугольных треугольников по катету и острому углу

Если катет и острый угол одного прямоугольного треугольника соответственно равны катету и острому углу другого прямоугольного треугольника, то такие треугольники равны

Answer 2

Рассмотрим два прямоугольных треугольника с катетами $a$ и $b$, и гипотенузой $c$. Обозначим высоту, опущенную на гипотенузу, как $h$. Тогда площадь первого треугольника будет равна $S_1=\frac{1}{2}ab$, а площадь второго треугольника - $S_2=\frac{1}{2}ch$.

Найдем соотношение между $h$ и $c$. Второй треугольник подобен первому, поскольку угол между гипотенузой и опущенной высотой является общим углом для обоих треугольников, а также поскольку противоположный катет и гипотенуза соответственно пропорциональны в обоих треугольниках. Таким образом, имеем:

$\frac{h}{a}=\frac{c}{b}$

Отсюда можно выразить $c$ через $h$ и $b$:

$c=\frac{bh}{a}$

Подставим это выражение для $c$ в формулу для площади второго треугольника:

$S_2=\frac{1}{2}\cdot\frac{bh}{a}\cdot h=\frac{1}{2}\cdot\frac{b}{a}\cdot h^2$

Теперь запишем формулу для высоты $h$ через катеты:

$h=\frac{2S_1}{c}=\frac{2S_1}{\frac{bh}{a}}=\frac{2aS_1}{b}$

Подставим это выражение для $h$ в формулу для площади второго треугольника:

$S_2=\frac{1}{2}\cdot\frac{b}{a}\cdot\left(\frac{2aS_1}{b}\right)^2=\frac{2a^2S_1^2}{b^2}=\frac{1}{2}ab=S_1$

Таким образом, мы показали, что площади двух прямоугольных треугольников с катетами $a$ и $b$, и высотой, опущенной на гипотенузу, равны.