Question

Дано: треугольник АВС- правильный,АС=8 см. R=AO=2корня из 3- радиус окружности описанной около треугольника АВС. найти 1)расстояние от точки Р до вершин треугольника АВС; 2)расстояние от точки Р до сторон треугольника АВС

Answer 1

Центр правильного треугольника - это центр описанной и вписанной окружности, и расположен он в точке пересечения высот (медиан, биссектрис).
Т.к. все высоты правильного треугольника равны между собой,  эта точка делит каждую высоту ( медиану) этого треугольника по свойству медиан в отношении 2:1, считая от вершины , т.е. 
АО=ВО=СО, 
.Эти отрезки - проекции наклонных МА, МВ, МС 
Поскольку проекции равны, то и наклонные равны.  Т.е. 
МА=МВ=МС
МА по т. Пифагора
МА=√ (АО²+МО²) 
АО - радиус описанной окружности и может быть найден по формуле
R=a/√3
или найти длину высоты данного правильного треугольника,  и 2 ее трети и будут проекциями наклонных  , т.е.  равны АО.
h=a√3):2=6√3):2=3√3
AO=3√3):3)·2=2√3
МА=√(АО² + МО²)=√(12+4)= 4 см

Answer 2

Чтобы решить эту задачу, мы должны найти координаты точки P, которая находится на пересечении перпендикуляров, опущенных из центра описанной окружности (точка O) на стороны треугольника АВС. Затем мы сможем использовать найденные координаты для нахождения расстояний от точки P до вершин и сторон треугольника.

1. Расстояние от точки P до вершин треугольника АВС

Изобразим треугольник АВС и центр описанной окружности O на координатной плоскости. Для удобства, положим вершину A в начало координат (0, 0), а вершину C на оси x положим на расстояние 8 см справа от начала координат.

Так как треугольник АВС правильный, то вершина B находится на окружности с центром в точке O и радиусом R. Тогда координаты точки B будут:

B(x, y) = (2корня из 3cos(60°), 2корня из 3sin(60°)) = (корень из 3, 3)

Теперь мы можем найти координаты точки P, которая является точкой пересечения перпендикуляров, опущенных из точки O на стороны треугольника АВ, ВС и СА.

Перпендикуляр, опущенный из O на сторону AB, проходит через середину отрезка AB, то есть точку M((0+корень из 3)/2, 2корня из 3/2). Тогда уравнение прямой, проходящей через O и M, будет иметь вид:

y = (2корня из 3/корень из 3)(x - корень из 3/2)

Аналогично, перпендикуляры, опущенные из O на стороны BC и CA, проходят через точки N(2корня из 3, 0) и L((корень из 3/2, -2корня из 3/2)), соответственно. Уравнения прямых, проходящих через O и эти точки, имеют вид:

• прямая, проходящая через O и N: x = 2корня из 3
• прямая, проходящая через O и L: y = (-2корня из 3/корень из 3)(x - корень из 3/2)

Точка P является точкой пересечения этих трех прямых. Решая систему уравнений, мы находим координаты точки P