Question

В прямоугольном треугольнике ABC(угол C=90 градусов) проведены высота CH, биссектриса CK и медиана CM. 1) Доказать, что СК делит пополам угол между СН и СМ.2) При НК=1 и КМ=2 найти: а) величину угла А;                                          б) длину биссектрисы СК;                                          в) tg А.СРОЧНО С РИСУНКОМ И РЕШЕНИЕМ ПОЖАЛУЙСТА      

Answer 1

Вариант моего решения в приложенном рисунке

Answer 2

Чтобы доказать, что CK делит пополам угол между CH и CM, нам нужно показать, что угол HCK равен углу MCK.

1. Докажем, что угол HCK равен углу B. Для этого заметим, что треугольники ABC и AHC подобны, так как они имеют общий угол при вершине A и соответствующие углы BAC и HAC равны, так как они оба равны 90 градусов. Таким образом, отношение длин сторон треугольников ABC и AHC равно отношению высот к гипотенузе, то есть:

$\frac{AH}{AB}=\frac{AC}{BC}$

или

$\frac{CH}{AB}=\frac{AC}{BC}$

Отсюда следует, что треугольники ABC и CKH подобны, так как у них соответствующие углы равны. Значит, угол HCK равен углу B.

2. Так как угол HCK равен углу B, а угол B равен половине угла A, то угол HCK равен половине угла A. Таким образом, угол A равен 2 углу HCK.

3. Так как треугольник CKH - прямоугольный, то мы можем найти длину биссектрисы CK, используя формулу для биссектрисы:

$CK=\frac{2\cdot CH\cdot \cos(\frac{B}{2})}{\sin(B)}$

Заменяем угол B на угол HCK и подставляем данные:

$CK=\frac{2\cdot CH\cdot \cos(\frac{A}{4})}{\sin(\frac{A}{2})}$

Подставляем НК=1 и КМ=2:

$CH=\sqrt{AB^2-AH^2}=\sqrt{3^2-1^2}=2\sqrt{2}$

$CK=\frac{2\cdot 2\sqrt{2}\cdot \cos(\frac{A}{4})}{\sin(\frac{A}{2})}$

4. Чтобы найти tg A, нам нужно знать длины сторон треугольника ABC. Заметим, что треугольники CHB и CMB подобны, так как у них соответствующие углы равны (оба треугольника имеют прямой угол при вершине C, а углы BHC и BMC равны, так как HC и MC - медианы, а значит, делают на основании AB равные углы). Таким образом, отношение длин сторон треугольников CHB и CMB