Question

СРОЧНОНайдите угол между диагональю грани куба и пересекающимся с ней ребром.

Answer 1

Решение в приложении.

Answer 2

Пусть $ABCD$ — куб со стороной $a$. Диагональ грани $ABC$ — это отрезок $AC$, а пересекающееся с ней ребро — это отрезок $AD$. Найдём угол между этими отрезками.

Рассмотрим треугольник $ACD$. Так как $AC=AD$, то этот треугольник равнобедренный, и высота, опущенная из вершины $A$, проходит через середину $CD$. Поэтому $AH=HD=\frac{a}{2}$, где $H$ — середина $CD$.

Теперь рассмотрим треугольник $ACH$. Искомый угол $\angle CAD$ равен углу $\angle CAH$ плюс угол $\angle HAD$. Угол $\angle CAH$ равен углу $\angle CAD$ между диагональю и гранью, а угол $\angle HAD$ равен углу между ребром и серединной перпендикулярой к грани. Но так как $AH=HD$, то эта перпендикулярная проходит через точку $H$, и угол $\angle HAD$ также равен углу между ребром и гранью. Поэтому искомый угол равен $2\angle CAH$.

Треугольник $ACH$ — это равнобедренный прямоугольный треугольник с катетами $AH=\frac{a}{2}$ и $CH=\frac{a\sqrt{2}}{2}$. Тангенс угла $\angle CAH$ равен отношению катетов, то есть $\tan\angle CAH=\frac{AH}{CH}=\frac{1}{\sqrt{2}}$. Поэтому угол $\angle CAH$ равен $\frac{\pi}{8}$, и искомый угол $\angle CAD$ равен $2\angle CAH=\frac{\pi}{4}$.

Ответ: угол между диагональю грани куба и пересекающимся с ней ребром равен $\frac{\pi}{4}$ радиан или $45^\circ$.