Question

В параллелограмме АВСD АК – биссектриса угла А, DM –  биссектриса  угла  D.  Найдите  длину  отрезка  КМ,  если  известны стороны параллелограмма АВ=3, АD=5. 

Answer 1

В параллелограмме биссектриса отсекает от противоположной стороны отрезок, равный боковой стороне. ВК=АВ, СМ=СД, причём АВ=СД, значит ВК=СМ=3.
КМ=ВК+СМ-ВС=3+3-5=1 - это ответ.

Answer 2

Поскольку $AK$ является биссектрисой угла $A$, то $AK$ делит сторону $AD$ параллелограмма на две части, пропорциональные оставшимся сторонам, т.е. $AD:DK=AB:BC$. Так как параллелограмм $ABCD$ имеет противоположные стороны равными, то $AB=CD$, и следовательно, $AD=BC$. Таким образом, $AD:DK=AB:BC=1:1$, и $AD=DK=5$.

Аналогично, поскольку $DM$ является биссектрисой угла $D$, то $DM$ делит сторону $DC$ на две части, пропорциональные оставшимся сторонам, т.е. $DC:CM=AD:AB$. Из соотношения $AD:AB=5:3$ и $DC=AB$ следует, что $DC:CM=AB:AD=3:5$. Так как $DC=AB=3$, то $CM=DC\times\frac{AD}{AB}=3\times\frac{5}{3}=5$.

Таким образом, получаем, что $KM=DK+CM=5+5=10$. Ответ: $KM=10$.