Question

Радиусы двух окружностей имеющих общий центр,относятся как 2:3. Хоорда большей окружности касается меньшей окружности и равна 20 см, найти радиусы.

Answer 1

Если из одной точки проведены к окружности касательная и секущая, то произведение всей секущей на её внешнюю часть равно квадрату касательной.
В нашем случае из одной точки А, лежащей на большей окружности проведена касательная АМ к меньшей окружности и секущая АВ, проходящая через общий центр О (окружности концентрические). Точка касания М делит хорду пополам значит АМ=10см. Тогда 10² = (R+r)*(R-r). Или 100=R^2-r^2. Но r = (2/3)*R. Подставляем и имеем 100=(5/9)*R^2.
Отсюда R = 6√5см, а r = 4√5см.

Или так: из прямоугольного треугольника ОМА по Пифагору имеем:
ОА^2-ОМ^2=АМ^2 или
R^2-r^2=100 или
(5/9)*R=100 
Отсюда R=6√5см. r=4√5 см.

Answer 2

Пусть радиус меньшей окружности равен r, тогда радиус большей окружности будет 1.5r, так как их радиусы относятся как 2:3.

Так как хорда большей окружности касается меньшей окружности, она является касательной, и перпендикуляр, опущенный из центра большей окружности на эту хорду, проходит через центр меньшей окружности.

Таким образом, получаем, что перпендикуляр, опущенный из центра большей окружности на хорду, делит ее пополам, то есть длина от центра большей окружности до точки касания хорды с меньшей окружностью равна 10 см.

Теперь мы можем использовать теорему Пифагора для прямоугольного треугольника, образованного радиусом меньшей окружности, радиусом большей окружности и перпендикуляром на хорду:

r^2 + (1.5r)^2 = (10 + r)^2

Раскрываем скобки:

2.25r^2 = 100 + 20r

Переносим все члены уравнения в одну часть:

2.25r^2 - 20r - 100 = 0

Решаем квадратное уравнение:

r = (20 ± √(20^2 + 42.25100))/4.5

r = (20 ± 30)/4.5

Решая это уравнение, получаем два решения: r = 10/3 или r = -40/3. Очевидно, что радиус окружности не может быть отрицательным, поэтому мы выбираем положительное решение:

r = 10/3

Таким образом, радиус меньшей окружности равен 10/3 см, а радиус большей окружности равен 1.5*10/3 = 5 см.