Question

Ребро куба ABCDA1B1C1D1 равно 2. Точки M и N середины рёбер AB и CC1 соответственно. Найдите расстояние от точки A до прямой MN.

Answer 1

..................................................

Answer 2

Обозначим точку пересечения прямых AC и MN через точку P. Так как M и N являются серединами отрезков AB и CC1, то прямая MN является параллельной плоскости ABCD и проходит через середину диагонали BD.

Таким образом, треугольник AMN является подобным треугольнику ABC с коэффициентом подобия 1/2. Поэтому сторона AM равна AC/2 = sqrt(2)/2, а сторона MN равна BC/2 = 1.

Так как прямая MN параллельна плоскости ABCD, то и прямая AP также параллельна этой плоскости. Следовательно, расстояние от точки A до прямой MN равно расстоянию от точки A до прямой AP.

Чтобы найти это расстояние, рассмотрим треугольник ACP. Так как AM и CN являются медианами треугольника ABC, то точка P является точкой пересечения медиан треугольника ABD. Значит, точка P является центром тяжести треугольника ABD.

Таким образом, расстояние от точки A до прямой AP равно отношению высоты треугольника ABD, опущенной из точки A, к стороне BD. Высота треугольника ABD равна sqrt(2), а сторона BD также равна sqrt(2). Следовательно, расстояние от точки A до прямой MN равно 1.

Ответ: расстояние от точки A до прямой MN равно 1.