Question

На плоскости даны 2 пересекающиес прямые p и q .Найдите геометрическое место точек M , равноудпленных от данных прямых.

Answer 1

Любая точка, равноудалённая от двух сторон угла, лежит на биссектрисе этого угла. В данном случае — на биссектрисах односторонних углов. См рисунок: чёрным цветом обозначены исходные прямые, а красным — биссектрисы, являющиеся ГМТ.

Answer 2

Геометрическое место точек, равноудаленных от двух пересекающихся прямых, является прямой, которая проходит через точку пересечения данных прямых и перпендикулярна каждой из них.

Чтобы найти эту прямую, мы можем взять любую точку на пересечении прямых p и q, обозначим ее как O. Затем проведем две перпендикулярные линии от O к каждой из прямых. Пусть эти линии пересекают прямую p в точке A и прямую q в точке B.

Теперь рассмотрим произвольную точку M на прямой AB и обозначим расстояния от нее до прямых p и q как d1 и d2 соответственно. Так как M лежит на прямой AB, она равноудалена от прямых p и q, то есть d1 = d2.

Теперь мы можем рассмотреть треугольник OMB. Так как MO = MB (так как M лежит на прямой AB, которая перпендикулярна к OB), то угол OMB равен углу OBM. Таким образом, треугольник OMB является равнобедренным.

Так как угол OMB равен углу OBM, а угол MOB является прямым углом (так как MB перпендикулярна к прямой q), то угол OMQ также является прямым углом. Аналогично, угол ONQ также является прямым углом.

Таким образом, мы видим, что точка M лежит на окружности с центром в точке O и радиусом, равным расстоянию от O до прямой AB. Так как прямая AB проходит через точку O, этот радиус также является расстоянием от O до каждой из прямых p и q. Следовательно, геометрическое место точек, равноудаленных от данных прямых p и q, является окружность с центром в точке пересечения прямых p и q и радиусом, равным расстоянию от этой точки до каждой из прямых.