Question

Две вершины квадрата расположены на гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника, а две другие - на катетах. Найдите сторону квадрата, если гипотенуза равна a.

Answer 1

Ответ:

Сторона квадрата равна а/3 ед.

Объяснение:

DEFG - квадрат.  =>  DE = EF = FG = GD.

АВС - равнобедренный прямоугольный треугольник. =>

∠ABC = ∠ВСА = 45°.  =>

Прямоугольные треугольники BEF и DGC - равнобедренные и ВF = EF, a GC = DG.

Но EF = DG = FG (стороны квадрата).  =>  BF = FG = GC.

Следовательно, сторона квадрата равна а/3.

Answer 2

Пусть сторона квадрата равна s. Тогда, поскольку две вершины квадрата лежат на гипотенузе равнобедренного прямоугольного треугольника, каждая из этих вершин находится на расстоянии s от вершины прямого угла треугольника.

Пусть точка пересечения гипотенузы с биссектрисой угла при прямом угле обозначена как O. Тогда, так как треугольник равнобедренный, точка O находится на середине гипотенузы и ее расстояние до каждого из катетов равно a/2.

Пусть точки, в которых касается квадрат катетов, обозначены как B и C, а точки, в которых касается квадрат гипотенузы, обозначены как A и D, как показано на рисунке ниже:

cssCopy code
A------D
|      |
|      |
|      |
B------C

Таким образом, AD = s и BD = CD = (a/2) - s.

Заметим, что треугольник ABD подобен треугольнику OBC, так как они имеют общий угол при вершине B и соответственные углы при вершине A и C. Следовательно, мы можем записать соотношение между их сторонами:

AB/BD = OB/BC

Заменяя известные значения, получаем:

s/((a/2) - s) = s/(a/2)

После упрощения:

s^2 = a^2 / 5

Таким образом, сторона квадрата равна:

s = a / sqrt(5)