Question

В трапеции ABCD проведены диагонали АС и BD. Докажите, что ∆ СОB ~ ∆ AOD.

Answer 1

Во-первых, угол ВОС=углуАОС, т.к. они вертикальные

Во-вторых, угол САД=углуВСА, т.к. ВС параллельно АД, и АС - секущая, образуют накрест лежащие углы

В-третьих, угол ВДА=углуДВС, т.к. ВС параллельно АД, ВД - секущая, образуют накрест лежащие углы.

Мы получили, что в треугольниках ВСО и АОД все углы равны, это и является признаком подобия треугольников.

Answer 2

Для доказательства подобия треугольников ∆СОB и ∆AOD нужно показать, что они имеют равные соотношения сторон.

Рассмотрим треугольник СОВ. По условию трапеции, его боковые стороны параллельны боковым сторонам трапеции ABCD, то есть СО || АD и ВО || BC. Значит, углы СОВ и АDC, а также углы ВОС и BCD являются соответственными углами при параллельных прямых, и следовательно, они равны. Таким образом, ∠СОВ = ∠ADC и ∠ВОС = ∠BCD.

Также по условию трапеции, диагонали AC и BD пересекаются в точке О. Значит, угол АОВ равен углу СОD (они являются вертикальными), и угол ВОС равен углу AOD (они являются соответственными углами).

Из вышесказанного следует, что треугольники ∆СОВ и ∆ADC подобны, так как у них соответственные углы равны. Аналогично, треугольники ∆ВОС и ∆BCD подобны.

Теперь рассмотрим треугольники ∆СОB и ∆AOD. Они являются прямоугольными треугольниками с равными углами ВОС и AOD (как было показано выше), и общим углом ОСВ (он является вертикальным углом при пересечении диагоналей). Значит, по признаку подобия прямоугольных треугольников, эти треугольники подобны.

Таким образом, мы доказали, что треугольники ∆СОB и ∆AOD подобны.