Question

1)В равнобедренном треугольнике АВС (АВ=ВС) ML – средняя линия, параллельная АС. В четырехугольник АМLС можно вписать окружность. Найти косинус угла АВС. (В ответе указать 18∗cos(<ABC)) 2)Ребра SA  и SC правильной четырехугольной  пирамиды SABCD  взаимно перпендикулярны.  SA=32–√SA=32. Найти объем пирамиды.

Answer 1

Пусть АВ=ВС=а, АС=b. Если в трапецию АMNC можно вписать окружность, то АМ+NC=MN+AC⇒a/2+a/2 = b/2 +b⇒a=1,5b.

Косинус угла В можно найти по теореме косинусов:

cosB=(AB²+BC²-AC²)/(2*AB*AC)= (2,25b²+2,25b²-b²)/(2*1,5b*1,5b)=3,5/4,5=7/9.

18*cos B=18* 7/9=14.

Answer 2

1. Рисуем треугольник АВС с средней линией ML, параллельной стороне АС, и окружность, вписанную в четырехугольник АМLС:

cssCopy code
       B
      / \
     /   \
  M /     \ L
   /       \
  /         \
 A-----------C
       S

Пусть радиус вписанной окружности равен r, а сторона треугольника АВС равна a. Тогда ML = AC/2 = a/2 и MC = ML = a/2. Также из прямоугольного треугольника MLS получаем:

scssCopy code
MS^2 + SL^2 = ML^2
(SA/2)^2 + r^2 = (a/2)^2

Заметим, что треугольник AMS подобен треугольнику ABC с коэффициентом подобия 2, так как AM = AC/2 = a/2 и AS = SA/2. Таким образом, получаем:

makefileCopy code
BC = 2 * AS = SA
AB = AC = a

Применяя теорему Пифагора к треугольнику ABC, находим:

cssCopy code
AB^2 = BC^2 + AC^2
a^2 = SA^2 + a^2
SA^2 = a^2 - a^2/4
SA^2 = 3a^2/4

Подставляем это выражение в уравнение для SL:

cssCopy code
(SA/2)^2 + r^2 = (a/2)^2
(3a^2/16) + r^2 = (a^2/4)
r^2 = a^2/16
r = a/4

Теперь можем найти косинус угла АВС с помощью теоремы косинусов в треугольнике ABC:

scssCopy code
cos(ABC) = (AB^2 + BC^2 - AC^2) / (2 * AB * BC)
         = (a^2 + SA^2 - a^2) / (2 * a * SA)
         = SA / (2 * a)
         = sqrt(3) / 6
18 * cos(ABC) = 3 * sqrt(3)

Таким образом, косинус угла АВС равен 3√3/18 или √3/6, что соответствует ответу 18cos(ABC) = 3√3.

2. Рисуем пирамиду SABCD:

cssCopy code
     B----C
    /|   /|
   / |  / |
  S--A----D

Так как пирамида правильная, то боковые грани являются равнобедренными треугольниками. Из условия SA⊥SC следует, что треугольники SAB и SCD прямоугольные, а высота пирамиды SH проходит через сер