Question

В треугольнике АВС сторона BC равна 6, медиана AM равна 3. Найдите угол BAC. Ответ дайте в градусах.

Answer 1

Ответ:

∠ВАС = 90°.

Объяснение:

ВМ = МС = ВС:2 = 3 ед (АМ - медиана).  =>

треугольники АМВ и АМС равнобедренные и значит

∠АВМ = ∠ВАМ, а ∠МАС = ∠ МСА.

Сумма углов треугольника АВС равна 180°  =>

∠АВМ + ∠ВАМ + ∠МАС + ∠ МСА = 180°.  =>

2·∠ВАМ + 2·∠МАС = 180°.  =>

∠ВАМ + ∠МАС = 180:2 = 90°. Но ∠ВАМ + ∠МАС = ∠ВАС.

Ответ: ∠ВАС = 90°.

Answer 2

Для решения этой задачи нам потребуется использовать теорему косинусов, которая устанавливает связь между длинами сторон и углами треугольника:

a^2 = b^2 + c^2 - 2bc*cos(A)

где a, b и c - длины сторон треугольника, A - угол, противолежащий стороне a.

Медиана AM - это отрезок, соединяющий вершину А с серединой стороны BC, который делит эту сторону пополам. Значит, BM = MC = BC/2 = 3.

Теперь мы можем выразить длину стороны AB с помощью теоремы Пифагора, так как у нас есть две известные стороны треугольника:

AB^2 = AM^2 + BM^2 = 3^2 + 3^2 = 18 AB = √18 = 3√2

Теперь мы можем использовать теорему косинусов для нахождения угла BAC:

cos(BAC) = (AB^2 + AC^2 - BC^2) / (2 * AB * AC)

Подставляем известные значения:

cos(BAC) = (18 + AC^2 - 36) / (2 * 3√2 * AC) cos(BAC) = (AC^2 - 18) / (6√2 * AC)

Так как медиана AM - это высота треугольника, опущенная на сторону BC, то угол BAC является острым. Значит, cos(BAC) > 0.

Из последнего выражения можно найти cos(BAC) при известном AC:

cos(BAC) = (AC^2 - 18) / (6√2 * AC) > 0

(AC^2 - 18) / AC > 0 AC^2 > 18 AC > √18 = 3√2

Таким образом, мы получили, что AC должно быть больше 3√2, чтобы угол BAC был острым.

Значит, угол BAC является острым, и мы можем продолжить расчет с помощью обратной функции косинуса:

cos(BAC) = (AC^2 - 18) / (6√2 * AC) = cos(arccos(0.5)) AC^2 - 18 = 3√2 * AC / 2 AC^2 - 3√2 * AC / 2 - 18 = 0

Решая это квадратное уравнение относительно AC, получим:

AC = (3√2 + √42) / 2 ≈ 3.94

Теперь мы можем найти угол BAC с помощью теоремы косинусов:

cos(BAC) =