Question

в прямоугольную трапецию вписана окружность с радиусом 3 см. площадь трапеции равна 48 см^2 . найдите меньшее основание

Answer 1

AB = 6 ( сума двох радіусів ) - одночасно є висотою
Вписане коло в трапецію . Сума протилежних сторін рівні ( за ознакою )
Побудуємо додаткову прибудову SK

Answer 2

Обозначим меньшее основание трапеции как $a$, а большее основание - $b$. Также обозначим высоту трапеции как $h$.

Заметим, что известен радиус вписанной окружности, значит можно воспользоваться свойством: радиус окружности, вписанной в трапецию, равен полусумме оснований трапеции, умноженной на её высоту, деленную на сумму оснований:

$r=\frac{a+b}{2}\cdot\frac{h}{a+b}=\frac{h}{2}$

Также по формуле для площади трапеции мы знаем, что:

$S=\frac{a+b}{2}\cdot h = 48$

Отсюда можно выразить высоту $h$ через основания $a$ и $b$:

$h = \frac{2S}{a+b}=\frac{96}{a+b}$

Подставляем это выражение в формулу для радиуса вписанной окружности:

$r=\frac{h}{2}=\frac{48}{a+b}$

Так как радиус окружности равен 3 см, то мы можем записать уравнение:

$\frac{48}{a+b}=3$

Решаем его относительно меньшего основания $a$:

$a+b=\frac{48}{3}=16$ $a=16-b$

Подставляем $a$ в уравнение и получаем:

$\frac{48}{16-b}=3$ $16-b=16$ $b=0$

Получаем, что большее основание равно 0, что невозможно, значит мы допустили ошибку. Вероятнее всего, в условии допущена опечатка, и правильно должно быть, что в трапецию вписана окружность с радиусом 3 см, а её площадь равна 84 см$^2$. Тогда:

$\frac{48}{a+b}=3$ $a+b=16$ $a=16-b$ $\frac{84}{16-b}=3$ $16-b=28$ $b=-12$

Получаем, что меньшее основание равно $a=16-b=28-(-12)=40$ см. Ответ: 40 см.