Question

Дано Вектор а (4;2)Вектор в(-2;t)При каких значениях t векторы будут: а) перпендикулярныб) коллинеарны

Answer 1

а) векторы перпендикулярны, если их скалярное произведение равно нулю.

4(-2) + 2t = 0

-8 + 2t = 0

2t = 8

t = 4

Ответ: при t = 4

б) векторы коллинеарны, если отношения их координат равны.

$\tt\cfrac{4}{-2}=\cfrac{2}{t} \ \ \Rightarrow \ \ t=\cfrac{-2\cdot2}{4}=-1$

Ответ: при t = -1

Answer 2

Для определения, когда два вектора перпендикулярны или коллинеарны, мы должны использовать определение скалярного произведения и векторного произведения.

Два вектора a и b перпендикулярны, если и только если их скалярное произведение равно 0:

a · b = ||a|| ||b|| cos θ = 0

где ||a|| и ||b|| - длины векторов a и b соответственно, а θ - угол между ними.

С другой стороны, два вектора a и b коллинеарны, если и только если они кратны друг другу:

a = k · b

где k - произвольная константа.

Теперь давайте рассмотрим заданные векторы:

a = (4, 2) b = (-2, t)

Скалярное произведение a и b равно:

a · b = (4)(-2) + (2)(t) = -8 + 2t

Таким образом, мы можем сказать, что векторы a и b будут перпендикулярны, когда:

-8 + 2t = 0 2t = 8 t = 4

Подставляя этот t в вектор b, мы получим:

b = (-2, 4)

Теперь мы можем проверить, являются ли векторы a и b перпендикулярными, вычислив их скалярное произведение:

a · b = (4)(-2) + (2)(4) = 0

Значение равно 0, поэтому мы можем сделать вывод, что векторы a и b перпендикулярны при t = 4.

Чтобы определить, являются ли векторы a и b коллинеарными, мы должны проверить, можно ли выразить вектор b как a, умноженный на некоторую константу k:

b = k · a

Так как координаты векторов a и b имеют разные знаки, то они не могут быть коллинеарными.

Таким образом, мы можем сделать вывод, что векторы a и b перпендикулярны при t = 4, но не коллинеарны.