Question

Помогите пожалуйста!!! Диагонали трапеции ABCD пересекаются в точке O. Площадь треугольников BOC и AOD относится как 1:9. Сумма оснований BC и AD равна 4,8. Найти основания трапеции.

Answer 1

Коэф. отношения площадей (1:9) - равен квадрату коэфициента подобия (значит коэф. подобия 1:3)
Значит BC:AD=1:3
Составим уравнение: 
AD=x, тогда BC = 4,8-х/3
(4,8-x)/x=1/3
x=(4,8-x)*3
x=14,4-3x
4x=14,4
x=3,6=AD
BC=x/3=3,6/3=1,2

Итог: BC=1,2.  AD=3,6.

Answer 2

Пусть $h$ - высота трапеции $ABCD$, а $a$ и $b$ - ее основания, причем $a>b$. Тогда площадь трапеции выражается как $S = \frac{(a+b)h}{2}$.

Так как диагонали трапеции пересекаются в точке $O$, то они делят друг друга пополам, то есть $BO = OD$ и $CO = OA$. Поэтому площадь треугольников $BOC$ и $AOD$ равна: $S_{BOC} = \frac{1}{2} \cdot BO \cdot CO = \frac{1}{2} \cdot OD \cdot OA = S_{AOD} \cdot 9$ $\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = 9$

Так как $S_{BOC} + S_{AOD} = S_{ABCD}$, где $S_{ABCD}$ - площадь всей трапеции, то можно записать систему уравнений: $\frac{S_{BOC}}{S_{AOD}} = 9$ $S_{BOC} + S_{AOD} = \frac{(a+b)h}{2}$

Решив эту систему, получаем: $S_{BOC} = \frac{9}{10} \cdot \frac{(a+b)h}{2}$ $S_{AOD} = \frac{1}{10} \cdot \frac{(a+b)h}{2}$

Теперь воспользуемся формулой для площади треугольника через основание и высоту: $S_{BOC} = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot OD = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot OC = \frac{1}{2} \cdot (a-b) \cdot \frac{h}{2}$ $S_{AOD} = \frac{1}{2} \cdot AD \cdot OB = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot OA = \frac{1}{2} \cdot (a+b) \cdot \frac{h}{2}$

Подставляем выражения для $S_{BOC}$ и $S_{AOD}$ в уравнения выше и получаем: $\frac{9}{10} \cdot \frac{(a+b)h}{2} + \frac{1}{10} \cdot \frac{(a+b)h}{2} = \frac{(a+b)h}{4}$

Упрощаем: $\frac{5}{4} \cdot (a+b)h = \frac{12}{10} \cdot (a+b)h = \frac{6}{5} \cdot 4,8 \cdot h$

Отсюда получаем: $(a+b)h = \frac{48}{5}$

Известно также, что $a+b=4,8$, поэтому $h=\frac{48}{5 \cdot 4,8}=\frac{10}{3}$.

Используя выражение для площади т