Question

из точки K к окружности с центром О провели две касательные в точках M,N. Найдите KM,KN если угол MON= 120 градусов, OK=12

Answer 1

Решение: 
Треугольники OKM и OKN равны (по гипотенузе и катету) 
, тогда ОК-биссектриса угла MON. Из треугольника МОК находим: 
МК=ОК*sin60²=12*√3/2=6√3

Answer 2

Для решения задачи воспользуемся теоремой о касательных и секущих:

1. Точки M и N являются точками касания касательных к окружности, следовательно, OM = ON = r, где r - радиус окружности.

2. Точка K лежит на линии, проходящей через центр окружности O и перпендикулярной касательной MN в точке пересечения с ней, следовательно, KM = KN = OK.

3. Угол MON равен 120 градусов, поскольку он опирается на дугу, соответствующую двум касательным.

Из рисунка видно, что треугольник OMN является равносторонним, так как все его стороны равны r. Следовательно, угол MON равен 60 градусов.

Таким образом, мы имеем два уравнения:

OM = ON = r KM = KN = OK = 12 MON = 60 градусов

Рассмотрим прямоугольный треугольник OMK:

tan(30 градусов) = OM / KM √3 / 3 = r / 12

Отсюда получаем:

r = 12√3 / 3 = 4√3

Таким образом, KM = KN = OK = 12, OM = ON = r = 4√3.