Question

dk высота прямоугольного треугольника DEF , проведенная к его гипотенузе EF. Найти DE,DF EK KF , если DK= 3 дм и угол EFD= 60°

Answer 1

<DEF=90°-<EFD=90°-60°=30°

В прямоугольном тр-ке DKE катет, противолежащий углу 30°, равен половине гипотенузы: DK=1/2DE. Значит DE=6

EK=√DE²-DK²=√36-9=√27=3√3

В прямоугольном тр-ке DKF <KDF=90°-60°=30°

KF=1/2*DF

Пусть KF=x, DF=2x

Найдем их по теореме Пифагора

DF²=DK²+KF²

4x²=3²+x²

3x²=9

x=√3, 2x=2√3

KF=√3, DF=2√3

Answer 2

Угол DEF равен 30° (90° – 60° = 30°).
Высота DK делит треугольник на два подобных треугольника, которые подобны треугольнику DEF. Значит, угол FDK = углу DEF. Так как катет, противолежащий углу 30°, в два раза меньше гипотезы, то: DK = 1/2DE, DF = 1/2EF, KF = 1/2DF. Следовательно: KF = 1/4EF, EK = 3/4EF и KF = 1/3EK.

DE = DK*2 = 3*2 = 6 дм.

EK = √(DE²– DK²) = √(6²– 3²) = √(36 – 9) = √27 = 3√3 дм.

KF = EK/3 = 3√3/3 = √3 дм.

DF = (EK + KF)/2 = (3√3 + √3)/2 = 4√3/2 = 2√3 дм.

Answer 3

Для решения данной задачи воспользуемся теоремой Пифагора для прямоугольного треугольника DEF:

DE² + DF² = EF²

Также из условия задачи известно, что DK = 3 дм и угол EFD = 60°. Мы можем использовать эти данные, чтобы найти отношения сторон в треугольнике.

Для начала определим отношение DE к DK. Известно, что тангенс угла EFD равен отношению противоположной стороны (DE) к прилежащей стороне (DK):

tan(60°) = DE / DK

Тангенс 60° равен √3. Подставляем это значение и известное значение DK:

√3 = DE / 3

Умножаем обе части уравнения на 3:

3 * √3 = DE

Таким образом, DE = 3√3 дм.

Теперь определим отношение DF к DK. Угол EFD является острым углом, поэтому его синус равен отношению противоположной стороны (DF) к гипотенузе (EF):

sin(60°) = DF / DK

Синус 60° равен √3/2. Подставляем это значение и известное значение DK:

√3/2 = DF / 3

Умножаем обе части уравнения на 3:

(3/2) * √3 = DF

Таким образом, DF = (3/2)√3 дм.

Теперь нам нужно найти отношения EK к DK и KF к DK. Воспользуемся тем фактом, что сумма синусов двух углов в треугольнике равна единице:

sin(60°) + sin(30°) = EK / DK + KF / DK

sin(60°) равен √3/2, а sin(30°) равен 1/2. Подставляем значения:

√3/2 + 1/2 = EK / 3 + KF / 3

Общий знаменатель слева равен 2:

(√3 + 1) / 2 = (EK + KF) / 3

Умножаем обе части уравнения на 3:

(3/2) * (√3 + 1) = EK + KF

Таким образом, EK + KF = (3/2) * (√3 + 1) дм.

Мы нашли значения DE, DF, EK и KF:

DE = 3√3 дм DF = (3/2)√3 дм EK + KF = (3/2) * (√3 + 1) дм