Question

Координаты середины отрезка 1. D - середина отрезка АВ. Найдите координаты: 1) Точки А, если В (4, 5), D (-1; 7) 2) Точки B, если A (3; 0), D (4; -2) 2. Докажите что четырехугольник ABCD с вершинами в точках А (2; -5) В (-7; 0) С (-6; 1) D (3, -4) - параллелограмм

Answer 1

Координаты середины отрезка равны полусумме соответствующих координат начала и конца отрезка. Следовательно,  

1). Xd=(Xa+Xb)/2 => Xa=2*Xd - Xb => Xa= -2-8= -10.

Yd=(Ya+Yb)/2 => Ya=2*Yd - Yb => Ya= 14-5= 9.  Точка А(-10;9)

2). Xb=2*Xd - Xa => Xb=8-3=5. Yb=2*Yd - Ya => Yb= -4-0= -4.  Точка B(5;-4).

Параллелограмм - четырехугольник, у которого две противоположные стороны равны и параллельны. В данном нам четырехугольнике сторона АВ=√((Xb-Xa)²+(Yb-Ya)²)=√((-7-2)²+(0-(-5))²)=√(81+25)=√106.

CD=√((Xd-Xc)²+(Yd-Yc)²)=√((3-(-6))²+(-4-1)²)=√(81+25)=√106.

Итак, противоположные стороны АВ и CD равны. Условие параллельности векторов: координаты векторов должны быть пропрпциональны, то есть  их отношение должно быть равно. В нашем случае вектора АВ и CD имеют координаты: АВ{-9;5}, a CD{9;-5}. Xab/Xcd=Yab/Ycd= -1, то есть АВ параллельна CD.

Таким образом, четырехугольник АBCD - параллелограмм, что и требовалось доказать.

Answer 2

1. Найдем координаты точки A, используя координаты точки В и D, которые являются концами отрезка АВ, а D является его серединой:

1. Координата x точки A: (x_A + x_B)/2 = x_D => (x_A + 4)/2 = -1 => x_A = -6
2. Координата y точки A: (y_A + y_B)/2 = y_D => (y_A + 5)/2 = 7 => y_A = 9

Таким образом, координаты точки A равны (-6, 9).

2. Найдем координаты точки B, используя координаты точки A и D:

3. Координата x точки B: (x_A + x_B)/2 = x_D => (3 + x_B)/2 = 4 => x_B = 5

4. Координата y точки B: (y_A + y_B)/2 = y_D => (-5 + y_B)/2 = -2 => y_B = -1

Таким образом, координаты точки B равны (5, -1).

2. Для того чтобы доказать, что ABCD является параллелограммом, необходимо показать, что противоположные стороны параллельны и имеют равные длины.

Для этого найдем координаты векторов AB и CD:

AB = (x_B - x_A, y_B - y_A) = (5 - 2, -1 + 5) = (3, 4)

CD = (x_D - x_C, y_D - y_C) = (3 + 6, -4 - 1) = (9, -5)

Теперь проверим, что эти векторы параллельны:

AB/CD = (3/9, 4/-5) = (1/3, -4/5)

Так как эти коэффициенты не равны, то векторы AB и CD не коллинеарны и, следовательно, стороны AB и CD не параллельны.

Таким образом, четырехугольник ABCD не является параллелограммом.