Question

в квадрате ABCD со стороной 10  точки M и T середины сторон AD и DC соответственно. Отрезки AT и BM пересекаются в точке K Найти площадь треугольника AMK

Answer 1

Рассмотрим приложенный рисунок.
Треугольники АВМ и АДТ равны по двум катетам.
Следовательно, все углы в них равны.
Из равенства углов  этих треугольников следует, что треугольник АКМ прямоугольный, т.к.  в нем острые углы равны острым углам прямоугольных треугольников.
Отсюда подобие треугольников АВМ и АКМ.
Коэффициент подобия треугольников найдем из отношения их гипотенуз.
k=ВМ:АМ
ВМ=√(АВ²+АМ²)=√125=5√5
Отношение площадей подобных фигур равно квадрату коэффициента их подобия.  k=(5√5):5=√5
S(ABM):S (AKM)=k²=5
S(ABM)=10*5:2=25
S (AKM)=25:5=5

Answer 2

Чтобы найти площадь треугольника AMK, нам понадобится знать длины его сторон. Давайте найдем эти значения.

Известно, что точка M - середина стороны AD, а точка T - середина стороны DC. Значит, отрезок MT является медианой треугольника ADC. В треугольнике с медианой MT, длина медианы равна половине длины соответствующей стороны. Таким образом, длина MT равна половине длины стороны DC.

Длина стороны DC в квадрате ABCD равна 10, поэтому длина MT равна 10/2 = 5.

Также известно, что отрезки AT и BM пересекаются в точке K. Поскольку AM является диагональю квадрата ABCD, то ее длина равна длине стороны квадрата, т.е. 10.

Теперь у нас есть длины всех сторон треугольника AMK:

AM = 10 MT = 5 AK = ? KM = ?

Чтобы найти длины отрезков AK и KM, можно воспользоваться теоремой подобия треугольников. Треугольники AMK и DMC подобны, так как у них соответствующие углы равны (они являются вертикальными углами, образованными пересекающимися прямыми AM и DM).

Используя пропорциональность сторон подобных треугольников, можем записать:

AK/DM = AM/DC

AK/10 = 10/10

AK = 10

Таким образом, длина отрезка AK равна 10.

Теперь можем найти длину отрезка KM, используя пропорциональность сторон треугольников AMK и BMT:

KM/BM = AM/MT

KM/5 = 10/10

KM = 5

Таким образом, длина отрезка KM также равна 5.

Теперь у нас есть длины всех сторон треугольника AMK:

AM = 10 AK = 10 KM = 5

Чтобы найти площадь треугольника, можно использовать формулу Герона:

S = sqrt(p * (p - a) * (p - b) * (p - c))

где p - полупериметр треугольника, a, b, c - длины сторон треугольника.

В нашем случае полупериметр треугольника AMK равен:

p = (AM + AK + KM)