Question

если в равнобедренной трапеции диагонали взаимна перпендекулярны, то площадь этой трапеции равна квадрату её стороны. ДОКАЗАТЕЛЬСТВО.

Answer 1

Трапеция равнобедренная  рисуем опускаем высоты получается прямоугольник нам нужно доказать что это квадрат
как мы знаем по своиству квадрата что его диагонали пенпердикулярны.
в нашем четырех угольнике диагонали тоже пенпендикулярны значит это квадрат.

Answer 2

Для доказательства данного утверждения, давайте обратимся к свойствам равнобедренной трапеции.

Пусть ABCD - равнобедренная трапеция, где AB и CD - основания, а AD и BC - боковые стороны. Пусть также AC и BD - диагонали, и они взаимно перпендикулярны.

Введем обозначения:

• Пусть AB = a - длина основания.
• Пусть AD = BC = b - длина боковых сторон.
• Пусть AC = d - длина диагонали AC.
• Пусть BD = e - длина диагонали BD.

По условию, диагонали AC и BD взаимно перпендикулярны, что означает, что угол между ними равен 90 градусов. Также, по свойству равнобедренной трапеции, боковые стороны AD и BC равны.

Теперь рассмотрим треугольники ACD и BCD. Они являются прямоугольными треугольниками, поскольку имеют прямой угол при вершине C.

В треугольнике ACD применим теорему Пифагора: AC^2 = AD^2 + CD^2

Аналогично, в треугольнике BCD: BC^2 = BD^2 + CD^2

Так как AD = BC и AC перпендикулярна BD, получаем систему уравнений: b^2 = e^2 + CD^2 b^2 = d^2 + CD^2

Из этих двух уравнений следует: e^2 + CD^2 = d^2 + CD^2

CD^2 и CD^2 сокращаются, оставляя: e^2 = d^2

Таким образом, получаем, что квадрат длины диагонали AC равен квадрату длины диагонали BD. Из этого следует, что длина диагонали AC равна длине диагонали BD: d = e.

Теперь рассмотрим треугольник ABD. В этом треугольнике сторона AB равна a, а диагональ AC равна d. По теореме Пифагора: AB^2 = AD^2 + BD^2 a^2 = b^2 + d^2

Но мы знаем, что b = AD и d = BD, поскольку это равнобедренная трапеция с перпендикулярными диагоналями. Тогда уравнение принимает вид: a^2 = b^2 + b^