Question

лежат ли точки a(3, -2, -4) b(-1,-2,7) c(0,-1,0) d(5,-4,-1) в одной плоскости? ответ необходимо обосновать

Answer 1

a и b неколлинеарны, так как 3/(-1)≠-2/-1≠-4/7

тогда если a,b,d лежат в одной плоскости , то

d=ax+by-найдутся такие коэффициенты разложения х  и уБ запишу систему тогда по каждой координате

5=3x-y; -4=-2x-2y; -1=-4x+7y

если есть решение системы. удовлетворяющее одновременно этим 3  равенствам, то d раскладывается по а и b и все три они лежат в одной плоскости...

из второго x+y=2; x=2-y; подставлю в первое 5=3(2-y)-y=6-4y; 4y=6-5=1; y=1/4; тогда x=2-y=2-1/4=1.75

(1.75;0.25)-решение из первых двух уравнений системы, подставлю в третье уравнение

-1=-4*1.75+7*0.25

-1=-7+1.75; -1=-5.25-неверно, значит a,b,d-не лежат в одной плоскости

Answer 2

Для того чтобы определить, лежат ли точки A(3, -2, -4), B(-1, -2, 7), C(0, -1, 0) и D(5, -4, -1) в одной плоскости, мы можем использовать свойство, что любые три точки, лежащие в одной плоскости, можно представить в виде линейной комбинации двух других точек.

Давайте проверим, являются ли точки A, B и C линейно зависимыми. Мы можем взять два вектора, образованных между парами точек, и проверить, является ли третий вектор их линейной комбинацией.

Вектор AB = B - A = (-1, -2, 7) - (3, -2, -4) = (-4, 0, 11) Вектор AC = C - A = (0, -1, 0) - (3, -2, -4) = (-3, 1, 4)

Теперь давайте проверим, является ли вектор D - A линейной комбинацией векторов AB и AC.

Вектор AD = D - A = (5, -4, -1) - (3, -2, -4) = (2, -2, 3)

Теперь мы должны проверить, существуют ли коэффициенты x и y такие, что x(AB) + y(AC) = AD. Перепишем это уравнение в виде системы линейных уравнений:

x(-4, 0, 11) + y(-3, 1, 4) = (2, -2, 3)

Распишем каждую компоненту этого уравнения:

-4x - 3y = 2 y = -2x 11x + 4y = 3

Мы получили систему из трех уравнений с двумя неизвестными (x и y). Попытаемся решить ее:

Используя второе уравнение, можем выразить y через x: y = -2x. Подставим это значение в первое и третье уравнения:

-4x - 3(-2x) = 2 11x + 4(-2x) = 3

Упростим и решим систему:

-4x + 6x = 2 11x - 8x = 3

2x = 2 3x = 3

x = 1 x = 1

Подставим значение x во второе уравнение для нахождения y:

y = -2(1) y = -2

Таким образом, получили, что x = 1 и y = -2, что является решением системы.

Таким образом, мы нашли такие значения x и y, при которых лин