Question

Отрезок BD - биссектриса треугольника ABC. Докажите, что BD(в квадрате)= AB*BC - AD*DC

Answer 1

Опустим перпендикуляры из точек A и C на прямую, содержащую биссекрису BD, это перпендикуляры AN и CM.
Треугольники BNA и BMC подобны по 2м углам, поэтому AB/BC = AN/CM.
Треугольники AND и CMD подобны по 2м углам, поэтому AN/CM = AD/CD.
Поэтому имеем AB/BC = AD/CD (это св-во биссектрисы BD треугольника ABC). По усл. (AB/BC)>1, поэтому и (AD/CD)>1, т.е. AD>CD. Ч.т.д.

Answer 2

Для доказательства равенства BD^2 = AB * BC - AD * DC нам понадобится использовать несколько геометрических свойств и теорем. Давайте рассмотрим каждую часть доказательства по отдельности.

1. Найдем выражение для AB * BC: В треугольнике ABC применим теорему синусов: AB / sin(∠ABC) = BC / sin(∠BAC) Заметим, что ∠ABC и ∠BAC являются смежными углами с ∠ABD и ∠CBD соответственно (по определению биссектрисы). Таким образом, мы можем переписать уравнение в виде: AB / sin(∠ABD) = BC / sin(∠CBD) По определению синуса ∠ABD и ∠CBD: AB / (BD / sin(∠ABD)) = BC / (BD / sin(∠CBD)) AB * sin(∠CBD) = BC * sin(∠ABD) AB * CD = BC * AD AB * BC = AD * CD

2. Найдем выражение для AD * DC: Рассмотрим треугольники ABD и CBD. Они имеют общую высоту, проходящую через точку D. Поэтому отношение площадей этих треугольников равно отношению длин отрезков AD и CD: Площадь(ABD) / Площадь(CBD) = AD / CD 0.5 * AB * BD * sin(∠ABD) / (0.5 * BC * BD * sin(∠CBD)) = AD / CD AB * sin(∠ABD) / BC * sin(∠CBD) = AD / CD AB * sin(∠CBD) = BC * sin(∠ABD) AB * CD = BC * AD

Таким образом, мы получили равенство AB * BC = AD * CD. Подставим это выражение в исходное равенство:

BD^2 = AB * BC - AD * DC

Значит, мы доказали исходное утверждение.