Question

Треугольник АВС-равнобедренный.На основании АС отмечены точки М И N так,что AM=NC.Докажите,что треугольник MBN-равнобедренный.

Answer 1

Если ABC - равнобедренный, то угол A и угол С равны. Рассмотрим треугольники АВМ и ВNC. Они равны по 1 признаку (АВ=ВС по условию, АМ=NC по условию, угол А = углу С по доказанному ранее).
В равных треугольниках соответственные стороны равны, значит МВ=ВN.
В треугольнике МВN МВ=ВN, значит треугольник равнобедренный, что требовалось доказать.

Answer 2

Чтобы доказать, что треугольник MBN является равнобедренным, нужно показать, что сторона MB равна стороне BN или что угол MBN равен углу MNB.

Рассмотрим треугольник АВС. Поскольку он равнобедренный, то стороны АС и АВ равны между собой.

Поскольку AM = NC, то сторона АМ равна стороне CN.

Рассмотрим треугольник АМN. В нем сторона АМ равна стороне NC (по условию) и угол АМН равен углу NCM (они образованы пересекающимися прямыми).

По теореме об изоскельном треугольнике в треугольнике АМН сторона АМ равна стороне МN, так как угол АМН равен углу АНМ (из-за равенства углов АМН и NCM).

Таким образом, мы получили, что сторона МB (она же МN) равна стороне АМ.

В треугольнике АВС сторона АВ равна стороне АС.

Исходя из этого, мы можем заключить, что сторона МB равна стороне ВN.

Таким образом, треугольник МBN является равнобедренным, так как его стороны МB и ВN равны друг другу.