Question

Ребята, помогите!!! Две окружности радиусов 4 и 8 касаются в точке А. Через точку А проведена прямая, пересекающая большую окружность в точке В, а меньшую – в точке С. Найдите АВ, если известно, что ВС = 6 корень из 2.Точка Р лежит на дуге окружности, описанной около равностороннего треугольника АВС. Докажите, что РС = РА + РВ.

Answer 1

1) Если соединить точки С и В с центрами окружностей, то получим подобные равнобедренные треугольники.
Отношение СА/АВ = 4/8=1/2.
Отрезок ВС делится точкой А в отношении 1/2. т.е. АВ =6V2*(2/3) = 4V2 = 5,656854.
2) Тут не ясно - РС = РА + РВ???

Answer 2

Решение первой задачи дано. Нет смысла повторяться, хотя можно дать немного иное решение ( из подобия треугольников АВД и АСЕ) с тем же результатом.   
Задача 2. 
Точка Р лежит на дуге окружности, описанной около равностороннего треугольника АВС. Докажите, что РС = РА + РВ.

Угол АРС опирается на ту же дугу , что угол АВС . Следовательно
 Угол АРС =60°
Угол СРВ на том же основании равен 60°. 
Выразим АС по т. косинусов из треугольника АРС.
АС²=АР²+РС²-2 АР*РС cos(60°)
Выразим ВС по т. косинусов из треугольника ВРС.
ВС²=ВР²+РС²-2 ВР*РС cos(60°)
 АС=ВС как стороны равностороннего треугольника, приравняем эти два уравнения. 
АР²+РС²-2 АР ·РС cos(60°)=ВР²+РС²-2 ВР ·РС cos(60°)
АР²-ВР²=РС²-2 ВР ·РС cos(60°)-РС²+2 АР ·РС cos(60°) 
Вынесем в правой части общий множитель 2РС ·cos(60°) за скобки : 
АР²-ВР²=2РС ·cos(60°)(-ВР+АР)
АР²-ВР²=2РС ·1/2 ·(АР-ВР)
(АР-ВР)(АР+ВР)=РС ·(АР-ВР)
Сократим обе части уравнения на (АР-ВР)
(АР+ВР)=РС, что и требовалось доказать. 

Answer 3

Для начала найдем длину отрезка АВ. Рассмотрим треугольник АВС. Так как окружности радиусов 4 и 8 касаются в точке А, то отрезок АВ является их внешним касательным. Поэтому АВ перпендикулярен радиусу, проведенному к точке касания, и его длина равна разности радиусов окружностей, то есть 8 - 4 = 4.

Теперь рассмотрим треугольник РСВ. Мы знаем, что ВС = 6√2. Заметим, что треугольники АСВ и РСВ подобны, так как у них углы САВ и СРВ равны, так как они опираются на одну и ту же дугу СВ окружности. Значит, соотношение сторон этих треугольников будет одинаково.

Отношение сторон треугольников АСВ и РСВ можно выразить следующим образом:

АС/РС = ВС/ВС.

Так как ВС/ВС = 1, получаем:

АС/РС = 1.

Заметим, что РС + РА = АС, так как отрезок РС является дугой окружности, а отрезок РА является дугой окружности, у которой Р - середина дуги АС.

Таким образом, РС + РА = АС = АС/РС * РС = 1 * РС = РС.

Таким образом, мы доказали, что РС = РА + РВ.