Question

четыре точки разбивают окружность на дуги, длины которых образуют геометрическую прогрессию со знаменателем 3. найдите меньший угол между диагоналями четырехугольника, полученного путем последовательного соединения этих точек.

Answer 1

Ориентир по рисунку . 
Полученный четырехугольник будет вписанным в окружность.
Так как дуги по формуле равны  $L=\frac{\pi*r*n}{180}$ , где  $n$ -  центральный угол     . 
 Пусть угол   $AOD=n$ , дуга  $\wedge AD=x$ . 
  $x=\frac{\pi*r*n}{180}\\ 3x=\frac{\pi*r*n_{1}}{180}\\ 9x=\frac{\pi*r*n_{2}}{180}\\ 27x=\frac{\pi*r*n_{3}}{180}\\\\ n+n_{1}+n_{2}+n_{3}=360\\\\ n_{1}=3n\\ n_{2}=9n\\ n_{3}=27n \\ n=9а\\ n_{1}=27а\\ n_{2}=81а\\ n_{3}=243а$,
 Заметим что  углы  $BDC \ \ BOC$ итд опираются на одну и ту же дугу. 
 По теореме  о вписанном угле  , вписанный     угол    $BDC=\frac{BOC}{2}$ 
выражая все углы 
получим 
  $> <img src=$ 
 тогда угол между диагоналями 
  $180-121.5-13.5=45$ он самый наименьший