Question

Высота правильной шестиугольной призмы равна 2, а радиус окружности, вписанной в основание, равен корень из 3. Найдите меньшую диагональ призмы.

Answer 1

Смотрим на основание призми. Во вписанной в шестиугольник окружности проводим радиус, который будет перпендикулярен стороне шестиугольника. Теперь если мы соединим две вершины шестиугольника и его центр, у нас получится треугольник, где высотой будет как раз радиус, равный $\sqrt{3}$. Он будет равносторонним, так как у шестиугольника (правильного) радиус описанной(!) окружности равен стороне.

Далее мы находим сторону шестиугольника по теореме Пифагора (предварительно разделив треугольник надвое, с общей высотой). $a=1$

 
Меньшая диагональ призмы будет проходить через боковую грань и отрезок в шестиугольнике. Найдем отрезок по теореме косинусов. $b=3$

Находим саму диагональ по теореме Пифагора: $d=\sqrt{9+4}=\sqrt{13}$