Question

Сколько существует чисел, восьмеричная запись которых содержит 5 цифр, причём все цифры различны и никакие две чётные и две нечётные цифры не стоят рядом.

Answer 1

Ответ:

Существует 504 числа, восьмеричная запись которых содержит 5 цифр, причём все цифры различны и никакие две чётные и две нечётные цифры не стоят рядом

Объяснение:

Алфавит 8 системы счисления: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

из них

чётные: 0, 2, 4 ,6

нечётные: 1, 3, 5, 7

В общем виде количество комбинаций высчитывается как произведение количества возможных символов на каждой позиции

Если число начинается с чётной цифры, то

• на 1 месте может быть любая из 3 чётных цифр: 2, 4 ,6 (число не может начинаться с 0)
• на 2 месте может быть любая из 4 нечётных цифр: 1, 3, 5, 7 (т.к. чётные и нечётные цифры не стоят рядом)
• на 3 месте может быть любая из 3 чётных цифр (т.к. цифры не должны повторятся, а одну из них мы использовали на 1 месте, но 0 теперь можно использовать, чётные и нечётные цифры не стоят рядом)
• на 4 месте может быть любая из 3 нечётных цифр (т.к. цифры не должны повторятся, а одну из них мы использовали на 2 месте, чётные и нечётные цифры не стоят рядом)
• на 5 месте может быть любая из 2 чётных цифр (т.к. цифры не должны повторятся, а две из них мы использовали на 1 и 3 местах, чётные и нечётные цифры не стоят рядом)

Вычислим количество чисел, восьмеричная запись которых содержит 5 цифр, причём все цифры различны и никакие две чётные и две нечётные цифры не стоят рядом, а также числа начинаются с чётной цифры:

3 * 4 * 3 * 3 * 2 = 216

Если число начинается с нечётной цифры, то

• на 1 месте может быть любая из 4 нечётных цифр: 1, 3, 5, 7
• на 2 месте может быть любая из 4 чётных цифр: 0, 2, 4 ,6 (т.к. чётные и нечётные цифры не стоят рядом)
• на 3 месте может быть любая из 3 нечётных цифр (т.к. цифры не должны повторятся, а одну из них мы использовали на 1 месте, чётные и нечётные цифры не стоят рядом)
• на 4 месте может быть любая из 3 чётных цифр (т.к. цифры не должны повторятся, а одну из них мы использовали на 2 месте, чётные и нечётные цифры не стоят рядом)
• на 5 месте может быть любая из 2 нечётных цифр (т.к. цифры не должны повторятся, а две из них мы использовали на 1 и 3 местах, чётные и нечётные цифры не стоят рядом)

Вычислим количество чисел, восьмеричная запись которых содержит 5 цифр, причём все цифры различны и никакие две чётные и две нечётные цифры не стоят рядом, а также числа начинаются с нечётной цифры:

4 * 4 * 3 * 3 * 2 = 288

Вычислим общее количество чисел, восьмеричная запись которых содержит 5 цифр, причём все цифры различны и никакие две чётные и две нечётные цифры не стоят рядом:

216 + 288 = 504

Answer 2

Давайте разберемся с этой задачей.

Число с пятью различными цифрами в восьмеричной системе счисления может быть записано в виде \(ABCDEFG_8\), где каждая из букв \(A, B, C, D, E, F, G\) представляет собой одну из восьмеричных цифр (0-7). Поскольку в задаче требуется, чтобы никакие две четные и две нечетные цифры не стояли рядом, то мы можем составить следующие возможные комбинации для четных и нечетных цифр:

1. Четные цифры: \(B, D, F\) 2. Нечетные цифры: \(A, C, E, G\)

Теперь рассмотрим все возможные перестановки этих цифр с учетом условия, что никакие две четные и две нечетные цифры не могут стоять рядом. Подсчитаем количество возможных комбинаций.

1. Начнем с четной цифры: \(B\) - Возможные варианты для нечетных цифр: \(A, C, E, G\) - После четной цифры \(B\) у нас есть 4 варианта для нечетной цифры. - Затем может следовать четная цифра (из \(D, F\)). Допустим, это \(D\). - После четной цифры \(D\) у нас остаются 3 варианта для нечетной цифры. - Затем опять четная цифра (из \(F\)). - После четной цифры \(F\) остается 2 варианта для нечетной цифры.

2. Начнем с нечетной цифры: \(A, C, E, G\) - Возможные варианты для четных цифр: \(B, D, F\) - После нечетной цифры, допустим, \(A\), у нас остаются 3 варианта для четной цифры. - Затем может следовать нечетная цифра (из \(C, E, G\)). - После нечетной цифры, допустим, \(C\), у нас остаются 2 варианта для четной цифры.

Теперь умножим количество вариантов для первой четной цифры на количество вариантов для второй четной цифры и умножим это на количество вариантов для нечетных цифр. Получим общее количество возможных комбинаций:

\[4 \times 3 \times 2 + 3 \times 2 = 24 + 6 = 30.\]

Таким образом, существует 30 чисел в восьмеричной системе счисления, удовлетворяющих заданным условиям.