Question

Какое наименьшее число ладей можно расставить на шахматной доске из n^2 клеток так,чтобы эти ладьи держали под угрозой все поля доски?

Answer 1

Если доска квадратная, то можно поставить n ладей по одной вертикали - ясно, что они будут держать под угрозой всю доску. Если же ладей меньше, чем n, то найдется по крайней мере одна горизонталь и одна вертикаль, на которой не будет находиться ни одной ладьи. Так как ладьи бьют только по этим линиям, то их пересечение не будет под угрозой, значит, меньше чем n ладей быть не может. Если же доска не квадратная, аналогично достаточно выставить ряд ладей по меньшей стороне, доказательство аналогично.

Answer 2

N. Нужно заполнить ладьями все клетки главной или побочной диагоналей

Answer 3

Ваш вопрос связан с задачей расстановки ладей на шахматной доске размером n x n так, чтобы все поля были под угрозой. Это задача теории графов и комбинаторной геометрии, которая может быть решена с помощью математического анализа и алгоритмов.

Основываясь на информации из , минимальное количество ладей, необходимых для покрытия всей доски, можно вычислить следующим образом:

1. Если n является четным числом, то делим доску на 8 кубиков размером m x m и заполняем каждый из двух кубиков, имеющих противоположные вершины, описанным выше способом. Это потребует 2m^2 = n^2/2 ладей. Они контролируют все поля, так как для любой тройки чисел (x, y, z) с координатами от 1 до n, либо две "маленькие" координаты не больше m, либо две "большие" координаты (с значениями от m+1 до 2m). Это означает, что данное поле контролируется ладьей из первого или второго кубика с ребром m.

2. Если n является нечетным числом, то рассматриваем два "угловых" кубика размером m x m и m x (m+1). Это потребует m^2 + (m+1)^2 = n^2/2 + n/2 + 1/4 ладей.

Таким образом, минимальное количество ладей, необходимых для покрытия всей доски, можно вычислить как ceil(n^2/2).

Обратите внимание, что это нижняя граница, и реальное количество ладей может быть больше в зависимости от конкретного расположения ладей на доске.