Question

Два игрока играют в следующую игру. Перед ними лежит куча из 6 камней. Игроки берут камни по очереди. За один ход можно взять 1, 2 или 3 камня. Проигрывает тот, кто забирает последний камень. Кто выигрывает при безошибочной игре обоих игроков — игрок, делающий первый ход, или игрок, делающий второй ход? Каким должен быть первый ход выигрывающего игрока? Ответ обоснуйте. Можете к нему нарисовать граф, очень срочно надо

Answer 1

Первому брать 2 или 3 камня нет смысла: останется 4 или 3  камня, тогда второй берёт 3 или 2 камня, первому остаётся последний камень и он проигрывает. пусть первый взял 1 камень. тогда после входа второго останется 2, 3 или 4 камня. в этом случае первый берет 1, 2 или 3 камня, тем самым оставляя второму последний камень, что ведет к выигрышу первого. ответ. выигрывает первый игрок, который на первом ходе должен взять 1 камень.

Answer 2

Для решения этой игры можно использовать метод математической индукции. Рассмотрим случаи, начиная с конечных значений и постепенно двигаясь к начальному состоянию.

Предположим, что перед нами куча из 1 камня. В этом случае игрок, делающий первый ход, обязательно проиграет, так как ему придется взять этот последний камень.

Теперь рассмотрим кучу из 2 камней. В этом случае игрок, делающий первый ход, может взять 1 камень и оставить кучу из 1 камня для второго игрока. Второй игрок будет вынужден взять последний камень и проиграет.

При куче из 3 камней первый игрок также может взять 1 камень и оставить кучу из 2 камней для второго игрока. Второй игрок снова проиграет, так как остается только два камня.

Теперь рассмотрим кучу из 4 камней. Независимо от того, сколько камней первый игрок возьмет, второй игрок всегда может взять столько камней, чтобы оставить кучу из 3 камней для первого игрока. Мы уже знаем, что при куче из 3 камней первый игрок проиграет, поэтому первый игрок всегда проиграет, когда перед ним куча из 4 камней.

Аналогично, если перед нами куча из 5 или 6 камней, первый игрок может выбирать такое количество камней, чтобы оставить кучу из 4 камней для второго игрока. Мы уже установили, что при куче из 4 камней первый игрок проигрывает, поэтому первый игрок всегда проиграет, когда перед ним куча из 5 или 6 камней.

Итак, мы видим, что независимо от начального количества камней первый игрок всегда проигрывает, если оба игрока играют безошибочно.

Графическое представление этой игры может выглядеть следующим образом:

javascriptCopy code
Начальная позиция: 6
            /   |   \
         5      4     3
        /|\    / \   / \
       4 3 2  3   2  2  1
      / \ |   /   /   |  \
     3  2 1  2   1   1   0
    /  / |   |   |   |
   2  1  0   1   0   0
   |  |
   1  0
   |
   0

В этом графе вершины представляют собой возможные состояния игры, а ребра соответствуют возможным ходам. Начальная позиция - 6 камней - находится в вершине самого верхнего уровня, а конечная позиция - 0 камней - находится в самом нижнем уровне. Как видно из графа, первый игрок всегда проигрывает.

Таким образом, выигрывает игрок, делающий второй ход, а первый ход выигрывающего игрока не имеет значения, так как результат игры уже определен независимо от его выбора.